Chapitres
- 01. I – Définition
- 02. II – Nombres irrationnels
- 03. III – Propriétés
Ne disposant pas d'une touche spéciale pour faire figurer une racine carrée, j'utiliserai un « V » pour dire « racine carrée de ».
I – Définition
A étant un nombre positif ou nul, la racine carrée de A est le nombre positif qui a pour carré A dont le carré est égal au nombre A. On note ce nombre Va. Le symbole V s'appelle un radical.
Conséquences :
+ Va est un nombre positif ou nul
+ (Va) ² = a
Exemples :
V4 = 2 car 2² = 4 et 2 est positif
V9 = 3 car 9/3= 3
V16 = 4 car 16/4 =4
V100 = 10 car 100/10 = 10
V(4/9) = 2/3 car (2/3)² = 4/9 et 2/3 > 0
V 0.04 = 0.2 car (0.2)² = 0.04 et 0.2 > 0
(V-3)² = 3
Applications :
ð Simplifier A
A = (3V2/2)²
= ((3*V2)²)/ 2²
= (3² * (V2)²)/ 2²
= (9*2)/4
= 9/2
ð Développer puis simplifier B
B = V2 (2V2-3)
= (V2 * 2V2) – (V2 * 3)
=2 (V2)² - 3V2
=2*2 – 3V2
= 4 – 3V2
STOP on ne peut plus simplifier !
II – Nombres irrationnels
Dans les exemples précédents, on a remplacé les racines carrées par des nombres entiers, des décimaux ou des fractions. Mais il existe des racines carrées qui ne peuvent être remplacées par aucun de ces nombres, on les appelle des nombres irrationnels. V2 ; V3 ; V5 ; V6 ; V7 … sont des nombres irrationnels.
En cours de math, on peut soit de tête, soit en utilisant une calculatrice, trouver des valeurs approchées de ces nombres.
A essayer de retenir si ce n'est pas déjà fait auparavant car c'est très utile dans le futur : => les carrés parfaits
1²= 1 ; 7²= 49
2²=4 ; 8²= 64
3²=9 ; 9²=81
4²=16 ; 10²= 100
5²=25 ; 11²=121
6²=36 ; 12²=144
Exemples :
1) Soit V23
On a : 16 < 23 < 25
4² < 23 < 5²
Donc 4 < V23 < 5.
On a donc encadré V23 entre deux entiers consécutifs. Pour avoir une valeur approchée, il faut utiliser la calculatrice.
On a V23 = 4.8 (arrondi au dixième)
2) Soit V2
1< 2<4
1²<2<2²
1<V2<2
On a V2 = 1.4
1.4 <V2< 1.5 (encadrement au dixième près)
1.41<V2< 1.42 (encadrement au centième près).
On peut donc trouver des valeurs approchées de V2 de plus en plus précises…
Application :
Simplifier les expressions suivantes
A = -3V2 + 5V2
= (-3+5)V2
= 2V2
B = 7V3 + 10V3
= (7+10) V3
= 17V3
MAIS on ne peut pas simplifier => C= V2 + 3V3.
III – Propriétés
1) Produit de deux racines
a et b étant deux nombres positifs ou nuls, montrons que Va * Vb = Va*b.
Démonstration :
a et b étant deux nombres positifs ou nuls.
Va *Vb et Va*b sont deux nombres positifs ou nuls. Pour montrer l'égalité de ces deux nombres, on va montrer l'égalité de leurs carrés.
(Va*Vb)² = (Va)²*(Vb)² (Va*b)² = a*b
= a*b (Va*b)² = (Va*Vb)².
Donc Va*Vb = Va*b.
Propriété 1 :
Soit a et b étant deux nombres positifs ou nuls, Va*Vb = Va*b.
Application :
a) Simplifier :
A = V50 * V2
= V50*2
= V100
= 10
B = 3V2*5V3*V6
= 3*5*V2*V3*V6
= 15*V6*V6
= 15*(V6)²
= 15*6
= 90
b) Ecrire D sous la forme aVb ou a et b sont des entiers et où b est le plus petit possible.
Méthode: Il faut transformer 63 en un produit contenant le plus possible de carrés parfaits.
D = V63
= (V7*9)
= V7*V9
= V7*(V3)²
= V7*3
= 3V7
Exemple Bilan :
E = 2V3(3V2-4V3)
= (2V3*3V2)-(2V3*4V3)
= (2*3*V3*V2) – (2*4(V3)²)
= 6V6 – 8*3
= 6V6 – 24.
2) Quotients de deux racines
Propriété 2 :
a et b étant deux nombres positifs ou nuls (b différent de 0)
(Va)/(Vb) = V(a/b)
On admet ce résultat mais on pourrait le démontrer comme précédemment.
Application :
a) Simplifier
A = (V18)/(V50)
= V(18/50)
= (V9) /(V25)
= (V3)²/(V5)²
= 3/5
b) Ecrire ce quotient sans radical au dénominateur.
Soit A= (2/(V3)).
Pour « neutraliser » V3 qui est un dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par V3.
(2/(V3)) = (2*V3)/(V3*V3)
= (2V3)/ 3.
ATTENTION :
Va * Vb est DIFFERENT de V(a+b).
Exemple numérique :
V16 + V9 = (V4)² + (V 3)² Mais V(16+9) = V25 = (V5)² = 5
= 4+3
= 7
On a 5 DIFFERENT de 7 .
IV – Résolution de l'équation de x² = a.
But : Je cherche le ou les nombres qui ont pour carré a .
ð 3 cas sont à envisager.
1er cas : a est positif ( a > 0)
L'équation x² = a possède deux solutions : Va et -Va.
2ème cas : a est négatif ( a < 0)
L'équation x² = a est impossible.
3ème cas : a est égal à 0 ( a = 0)
L'équation x² = a a une seule solution qui est 0.
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
a) x² = 6
6 > 0 dons l'équation a deux solutions : V6 et -V6.
b) x² = (3/4)
(3/4) > 0 donc l'équation a deux solutions : V(3/4) et -V(3/4). Nous pouvons simplifier V(3/4) = V3/V4 = V3/2.
Donc les solutions simplifiées sont : V3/2 et - V3/2.
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