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Le logarithme décimal en calcul algébrique

De Samuel, publié le 05/01/2018 Blog > Soutien scolaire > Maths > Qu’Est-ce Qu’une Fonction Décimale ?

« En mathématiques, « évident » est le mot le plus dangereux. » Eric Temple Bell (1883-1960), mathématicien Écossais.

Ce célèbre mathématicien, inventeur des « polynômes de Bell », a en une phrase résumé l’essence même des mathématiques : une discipline ne peut être scientifique que si ses hypothèses sont réfutables, qu’il est possible de les soumettre au doute.

L’objet des mathématiques – en calcul arithmétique et algébrique – est également de rendre accessible une infinité de nombres complexes et de grandeurs inconnues.

Cela permet de connaître la valeur de plusieurs variables inconnues et de résoudre équations et inéquations, de dresser le tableau de signes et le tableau de variation d’une fonction – fonction affine, fonction exponentielle, fonction logarithme – à partir de la dérivée.

On connaît les maths depuis la Grèce antique, notamment depuis Archimède, Euclide, Pythagore ou Thalès, par exemple.

Après plus de 1500 ans d’évolution scientifique, lorsque l’astronomie se développait en Europe, pendant la Renaissance (16ème-17ème siècle), les calculs devenaient trop complexes pour être réalisés sans se tromper.

Les mathématiciens ont donc inventé stratagème et théorème pour les simplifier : nous devons à John Neper (1550-1617) l’invention du logarithme – dit logarithme népérien -, représenté dans une table de logarithmes, un outil permettant de transformer les produits en sommes.

Ces découvertes permirent le calcul d’aire sous une hyperbole, l’étude de la fonction logarithme et de la fonction exponentielle.

Dans cet article, la rédac de Superprof s’attache particulièrement à la fonction logarithme décimale, notée y = log (x) : qu’est-ce qu’une fonction logarithme ?

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Petite histoire de la fonction logarithme

Les logarithmes sont une clé de voûte de l’histoire des mathématiques.

Ils sont nés avec la création de tables de logarithmes ayant vocation à faciliter les calculs astronomiques, au début du 17ème siècle.

Et si nous n'avions pas les tables de Briggs, comment pourrions-nous calculer la réaction émotionnelle du cerveau, les nuisances sonores ou le PH d'un verre d'eau ? Si je veux calculer log (34), combien ça fait ? Les génies mathématiciens du 17ème siècle nous ont bien facilité la vie…

C’est en effet la complexification des calculs qui a poussé astronomes, marins et mathématiciens à chercher des outils pour faciliter les calculs de produits et de quotients.

La science mathématique connaissait déjà alors les tables de trigonométrie, permettant de trouver le produit de deux nombres entiers A et B grâce au cosinus.

Mais le passage par le calcul des angles se révéla peu pratique : Jost Bürgi et John Napier créèrent un moyen plus simple, une table de lecture de correspondance entre les suites géométriques de premier terme 108 et de raison 1,000 1 et les suites arithmétiques de premier terme 0 et de raison 10.

A une époque où tous les calculs se faisaient à la main, il était complexe de multiplier les produits par les quotients.

Calculer l’aire d’une hyperbole et la tangente de chaque point sur une courbe exponentielle pour tout x positif était abordable en travaillant avec un nombre réel et en lisant les sinus et cosinus des tables trigonométriques.

En revanche, connaître toutes les valeurs d’une fonction – en incluant tous les nombres décimaux – nécessitait des infinités de calculs.

C’est Henry Briggs qui, avec J. Napier, construisit la première table de logarithme décimal en 1615. S’en suivirent des tables trigonométriques et une table d’antilogarithmes.

Ces tables numériques, allant jusqu’à quatorze décimales – dans la table de Briggs – allaient servir d’outil de base pour étudier la fonction logarithmique pendant trois siècles, avant d’être détrônées par l’invention de la calculatrice à la fin du 20ème siècle.

En cours de soutien ou au programme officiel de maths Terminale S, l’analyse de la fonction logarithme décimale a perdu de sa superbe, en partie à cause de la calculatrice graphique, qui l’a intégrée dans ses fonctionnalités et qui permet drastiquement de simplifier les calculs.

Où trouver la valeur de x sans faire de lecture graphique et sans calculette ? Avant la calculatrice, il fallait impérativement un livre pour calculer les fonctions logarithmes décimales.

Toutefois, celle-ci demeure très utile en physique lorsqu’il s’agit d’aborder des valeurs comprises entre 10−10 et 1010. On retrouve cette bête noire des élèves de lycée pour les calculs de décibels en acoustique, ou bien en physique chimie pour l’évaluation des tests de PH, ou encore pour contrôler une solution aqueuse.

Pour un excellent rappel de fonctions logarithmes – népérien et décimale -, un cours de Terminale S en accès libre permet de visualiser cours et exercices.

Ne pas hésiter à les faire, quitte à les soumettre ensuite à votre professeur lors des cours particuliers de maths.

Découvrez ici ce qu’est une division euclidienne !

Le logarithme décimal, théorème et propriétés algébriques

Afin de dresser la représentation graphique des nombres variant sur plusieurs ordres de grandeur, sur un intervalle de 1 à 1000 par exemple, il est impossible de recourir à l’échelle habituelle avec graduations proportionnelles à des nombres.

Il y a 400 ans, Briggs et Napier révolutionnaient les maths... Imaginez les pages de calcul monumentales qu’il a dû écrire pour trouver chaque décimale pour chaque point de la fonction log (x)…

Sur un repère orthonormé, si 1 millimètre représente la valeur 1, alors 1 centimètre représente la valeur 10. Ainsi donc, il faudrait une feuille large d’un mètre pour représenter la valeur 1000.

Inversement, pour les très petites dimensions, il faudrait une feuille longue de dix kilomètres pour représenter les valeurs allant 10−10 à 10−3, avec la même graduation !

C’est pour cela que les mathématiques utilisent l’échelle logarithmique, permettant de multiplier une valeur par un même facteur (10−10 par exemple) en passant d’une graduation à la suivante : les distances portées sur l’axe sont proportionnelles aux logarithmes des nombres représentés.

La fonction logarithme décimale se note comme suit : log(x) = ln(x)/ln(10). Ses propriétés algébriques sont similaires à celles du logarithme népérien, noté lui, « ln ».

Pour tout x > 0 et pour tout y ∈ R, log(x) = y <=> x = 10y ou encore log(10y) = y.

On dit que le nombre réel est appelé logarithme de base 10 de a, logarithme décimal de a, noté log10a ou log (a).

On admet aussi que le log de est l’exposant de la puissance de 10 qui donne a.

Ainsi, on a, pour tout nombre réel > 0 :

  • log 1 = 0, car 100 = 1,
  • log 10 = 1, car 101 = 10,
  • log 0,1 = – 1 car 10-1 = 0,1,
  • log (10x) = x,
  • log 1/= – log a, car le logarithme de l’inverse est égal à l’opposé du logarithme,
  • log a/= log a – log b, car le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes,
  • log 2 <=> 0,30103,
  • log 3 <=> 0,447712,
  • log 4 <=> 0,69897.

Puisque 10x est toujours > 0, le logarithme d’un nombre négatif ou nul n’existe pas : une fonction logarithme est donc par définition toujours strictement croissante et positive sur son intervalle ] 0 ; ∞ [.

Autre propriété du logarithme décimal : le logarithme d’un produit est toujours égal à la somme des logarithmes. En connaissance log et log b, on peut déterminer log (ab) :

  • = 10x1 <=> log a,
  • b = 10x2 <=> log b,
  • ab = 10x1+x2 <=> log (ab),
  • Donc, log (ab) = log a + log b.

Ces propriétés algébriques posées, comment alors vérifier que le logarithme de 2 est bien égal à 0,30103 ?

On va calculer le log 5 :

  • log 5 = log (10/2),
  • = log 10 – log 2,
  • = 1 – log 2,
  • = 1 – 0,30103,
  • log 5 = 0,69897.

Or log 2 = log (10/5) :

  • = log 10 – log 5,
  • = 1 – 0,69897,
  • = 0,30103.

Maintenant que l’on sait comment l’on calcule un logarithme simple, comment déterminer log (20) ou log (400) ?

  • log(20) = log (10 x 2 ) = log (10) + log (2) = 1 + log (2) = 1,30103,
  • log (400) = log (100 x 4) = log (100) + log (4) = 2 + log (4) = 2,60205.

Découvrez également notre définition d’une table de multiplication !

Représentation graphique d’une fonction logarithme décimale

Graphiquement, on voit bien souvent que la fonction logarithme décimale prend une forme ascendante, dont on dira que la courbe est strictement croissante sur R.

Le numérique bouleverse aussi les mathématiques, notamment pour les lois de probabilités et les logarithmes. Voici l’ancêtre des tables de Briggs : en quelques clics, on voit la valeur de log (x). Même plus besoin d’apprendre à lire le tableau !

La représentation graphique d’une fonction sert à établir le tableau de signe de celle-ci, mais pour log (x), son tracé peut être compliqué.

En effet, il existe une valeur de log (x) pour toute valeur de x comprise entre 0 et +∞. De surcroît, l’on remarque que la fonction augmente très peu, même lorsque x augmente beaucoup.

Autrement dit, lorsque la courbe admet une asymptote verticale,  d’équation x = 0 et limx→0ln(x)=−∞ où lorsque croît beaucoup, y croît très peu.

Mais alors comment faire pour tracer la représentation graphique de log (x) ?

Il faut, comme pour tracer une fonction affine, établir un tableau de points de repères choisis arbitrairement. Soit une fonction logarithme décimale log (x) définie sur ] 0 ; 100].

Il va falloir calculer le logarithme de plusieurs valeurs de choisies par hasard afin de connaître l’ordonnée par rapport à son abscisse.

On sait, toutes choses égales par ailleurs, que log (1) = 0 et que log (10= 1. Or nous savons aussi que log 5 = 0,69897.

Pour construire une droite d’équation y =  2x + 5, seuls ces deux images de f(x) suffiraient.

Mais la fonction log (x) n’est pas une droite, mais une courbe asymptotique.

Nous allons donc considérer les points suivants :

  • log (0,1) = -3,
  • log (1) = 0,
  • log (5) = 0,69,
  • log (10) = 1,
  • log (15) = 1.17,
  • log (20) = 1,30,
  • log (50) = 1,69,
  • log (75) = 1,875,
  • log (100) = 2.

Ainsi peut-on tracer la courbe en partant du point de coordonnées A (0;-3), B (1;0), C (5;0,69), etc. jusqu’à I (100;2).

Que remarque-t-on ?

La fonction log (x) est négative pour tout x < 1 et positive pour x > 1.

Lorsque x tend vers 0, log (x) tend vers −∞ et inversement, lorsque x tend vers +∞, log (x) tend aussi vers +∞.

Interrogation surprise !

Quel est le signe de log (0,89234545) ? Quel est le signe de log (1226,9258) ?

Quelles sont les variations et les directions de log (x) ?

Calculer :

  • log (10 x 5),
  • log (1/2).

On peut se demander à quoi le calcul des logarithmes peut-il servir au lycée, surtout pour les personnes plus littéraires.

Néanmoins, il sera bénéfique de les connaître par exemple à l’université pour réussir sa licence de physique chimie, de mathématiques, de biologie, ou encore pour la préparation du Capes externe de sciences économiques : l’épreuve de maths à l’oral peut donner des points, non négligeable lors d’un concours.

Ce thème au programme du baccalauréat S peut, par ailleurs, venir majorer une moyenne au bac, et permettre d’obtenir une mention !

Des difficultés subsistent ? Nos professeurs sur Superprof sont là pour donner des cours particuliers !

Découvrez ici notre définition de l’algèbre

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