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Que sont les fonctions affines ?

De Samuel, publié le 29/12/2017 Blog > Soutien scolaire > Maths > Qu’Est-ce Qu’une Fonction Affine ?

« Une théorie mathématique ne doit être regardée comme parfaite que si elle a été rendue tellement claire qu’on peut la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue. » David Hilbert (1862-1943), mathématicien Allemand

Apprendre les mathématiques, c’est comme prendre des cours de piano ou des cours de guitare : cela ne s’invente pas, et il vaut mieux comprendre, déduire par raisonnement logique, plutôt qu’apprendre par cœur.

Comprendre la résolution d’une équation, d’inéquations, d’équations différentielles, savoir faire un tableau de variation d’une fonction affine ou d’une fonction linéaire, etc.

Bien sûr, les cours de mathématiques imposent de connaître les tables de multiplication et d’apprendre chaque théorème, surtout en géométrie ou en probabilités (les fameuses loi normale et loi binomiale ne sont pas innées).

Mais pour analyser une fonction – étudier les limites de fonctions, étudier une fonction logarithme ou exponentielle -, faire du calcul intégral, etc., il vaut mieux comprendre le langage mathématique.

C’est comme un cours d’allemand ou un cours d’anglais : on apprend du vocabulaire et de la grammaire mais il faut aussi comprendre comment construire une phrase.

Dès le niveau collège, on voit apparaître une première bête noire des élèves, qui ne sont pas toujours unis par les liens sacrés des mathématiques : la fonction affine.

Puisque les fonctions se trouvent dans les programmes scolaires et dans le programme de révisions du brevet des collèges, il ne faut pas se tromper. Il est bien sûr possible de compléter son apprentissage par un cours de maths 3ème ou cours de maths seconde à domicile.

Fonction affine, définition et théorèmes

Une fonction affine est une fonction qui, à toute valeur x définie sur ℝ – l’échelle des nombres réels -, associe le nombre ax + b, a et b étant des nombres relatifs donnés.

Comment représenter y = - 4x +34 ? Le cours à domicile, ça peut servir à ça : apprendre à mieux étudier les équations simples de f(x).

On note cette fonction par l’équation suivante : f : x –> ax + b, ou f(x) = ax + b.

Le nombre b doit être différent de 0. Pourquoi ?

Parce que si b = 0, l’on a f(x) = ax et l’on parle dans ce cas d’une fonction affine linéaire. 

Et si a est égal à zéro, alors on dit que la fonction f(x) = b est constante (et affine) : en effet, tous les points de la même droite auront la même ordonnée (b), et la courbe sera parallèle à l’axe des abscisses.

Ce sont là, deux particularités à retenir de la fonction affine.

La valeur b représente, sur un repère graphique, l’ordonnée à l’origine : c’est le point où la courbe croise l’axe des ordonnées (y) dans leur distance par rapport à l’origine (0).

La variable a, elle, est appelée « coefficient directeur » : il s’agit du degré de la pente de la courbe, calculable à partir de l’axe des abscisses (x) sur le graphique.

Plus le nombre « a » est élevé, plus la pente de la courbe sera forte, qu’il soit négatif ou positif.

Pour faire bonne impression dans les exercices de mathématiques à l’épreuve du brevet des collèges, on pourra écrire que la droite de f(x) mesure le taux d’accroissement des ordonnées par unité d’abscisse.

Une fonction affine est donc un ensemble de valeurs résolvant l’équation y = ax + b, sur l’intervalle donné, et dont la représentation graphique prendra la forme d’une droite oblique, croissante ou décroissante.

On doit alors lire que f est la fonction qui au nombre x, fait correspondre le nombre ax + b : x est l’antécédent, ax + b est l’image de x sur l’intervalle, que l’on note f(x) = ax + b.

Par exemple, si f(x) = 3x, l’on obtiendra une droite – notée d1 – croissante, croisant l’axe des ordonnées au point 0. Si f(x) = –x, alors la droite d2 sera décroissante.

Autre particularité : si f(x) = -5, alors la droite sera constante et croisera l’axe des ordonnées au point -5.

Pour calculer l’image d’un réel x, il suffit donc de multiplier x par le coefficient a, puis d’ajouter la constante b, et l’on peut dès lors commencer à tracer la droite sur un repère graphique. Des notions abordées pendant le cour de math avec un prof particulier.

Découvrez aussi la division euclidienne !

Faire la représentation graphique d’une fonction affine

Je me rappelle qu’au collège, je ne devais pas ma modeste réussite scolaire aux mathématiques. En particulier l’analyse de fonctions : il a fallu un certains temps, faire de nombreux cours et exercices de maths pour avoir enfin le déclic et perfectionner mon niveau.

Les maths pour les nuls : la base, de niveau collège. Quel est le coefficient directeur de cette droite ?

Apprendre à tracer une droite de fonction affine sur un repère graphique nécessite pour le professeur de maths, d’être pédagogue et de transmettre une méthode efficace pour chaque élève.

C’est pourtant facile, pourrait-on dire. Sauf que quand on n’a pas compris…

Lorsque je donne des cours de piano à des amis complètement débutants, ceux-ci ne comprennent pas d’emblée les écarts d’intervalles permettant de dissocier un accord majeur d’un accord mineur : la notion de tierce mineure ou tierce majeure implique des calculs d’intervalles (tons et demi-tons entre les notes). Pourtant, c’est simple pour moi… 

Pour construire la droite d’une fonction affine, prenons un exemple :

Soit la fonction f, définie par f(x) = 2– 3.

f(x) est bien de la forme ax + b, avec a = 2 et b = -3 : c’est donc bien une fonction affine.

On va chercher à tracer la droite d’équation y = 2x – 3. Puisqu’il s’agit d’une droite, il suffit de ne trouver que deux points pour la tracer.

On va chercher les trois valeurs de x arbitraires et faciles à lire sur les repère, puis on calculera leurs images de f(x).

  • Pour x = 0, f(x) = -3 : noté point A,
  • Pour x = 2, f(x) = 1 : noté point B.

On obtient les points A et B, de coordonnées A (0 ; -3) et B (2 ; 1).

On pourra cependant ajouter un troisième point pour éviter les erreurs et faire une vérification, soit x = -2, f(x) = -7. On peut maintenant tracer la droite d’équation y = 2x -3 en reliant chaque point entre-eux.

Autre méthode :

En partant de l’ordonnée à -3, on va « monter » de 4 unités sur l’axe des ordonnées, et se décaler de 2 unités vers la droite sur l’axe des abscisses, ou « monter » de 6 unités sur les ordonnées et se décaler de 3 unités sur l’axe des x.

Quand augmente d’une unité, augmente de deux unités, d’où a = 2.

On obtient les points de coordonnées suivantes : A (0 ; -3), B (2 ; 1), C (3 ; 3), ce qui suffit pour tracer la droite d1, où tout point de la droite vérifie l’équation y = 2x – 3.

Découvrez ici ce qu’est la géométrie !

Comment déterminer une fonction affine ?

Déterminer une fonction est facile si l’on connaît les valeurs de et b. Dans notre exemple f(x) = 2x – 3.

On sait que f(2) = 1, que f(-2) = -7 et que f(1) = -1. 

Pour déterminer notre fonction, deux méthodes peuvent s’employer : le calcul et la lecture sur le repère.

Objectif : maîtriser les fonctions avant d'aborder Pythagore. Calculer a et b sans s’aider du graphe. Puis tracer la droite. On trouve ?

Déterminer une fonction à partir de la représentation graphique

C’est la méthode la plus facile, mais dès la classe de seconde, le graphe ne sera pas forcément fourni au contrôle de fin de chapitre.

Il faudra s’habituer avec nos professeurs particuliers à se détacher autant que l’on peut de la représentation graphique.

Pour déterminer graphiquement f(x) = 2x – 3, il suffit de voir à quels points la droite coupe les axes des et des y. Dans notre cas, on retrouve nos points A (0 ; -3), B (2 ; 1) et C (3 ; 3).

On en déduit que la droite d1 comporte une équation de type y = 2x – 3.

Découvrez aussi ici nos cours de maths 1ere S ou cours de maths Terminale S !

Déterminer une fonction par calculs

Si nous n’avons pas le graphe à disposition, ou que le prof de maths demande à ce que le raisonnement figure sur la copie, comment faire ?

Une formule magique existe, la voilà.

Quand est une fonction affine non linéaire, les valeurs de vérifiant f(x) ne sont pas proportionnelles. Pourtant, les écarts entre les valeurs de le sont.

Pour calculer le coefficient directeur avec deux nombres x1 et x2 et leur image par : a = .

Or nous avons x1 = 0 et x2= 2, avec f(x1) = -3 et f(x2) = 1.

En remplaçant les inconnues, on obtient bien a = (-3 – 1) / (0 – 2) = -4 / – 2, soit a = 2.

Découvrez également ce qu’est l’algèbre !

Étudier le signe d’une fonction affine

Et alors, maintenant que l’on a la pente de la droite et son tracé graphique, comment étudier le signe de ?

Multiplier les exercices de mathématiques pour susciter le déclic. Doucement, doucement…Repose cette batte tout de suite, tu vas y arriver…

Quiconque fera ou a fait des études supérieures avec des cours de statistiques, même sans être « matheux », est passé par là : l’étude de signes.

Rappelons que si est positif, alors la fonction est croissante et inversement.

Si x1<x2, alors ax1<axdonc ax1 + b < ax2 + b et f(x1) < f(x2). En l’occurrence, -2 est bien inférieur à 0, et -7 est inférieur à -3.

Notre fonction f(x) = 2x – 3 est donc bel et bien croissante. Les valeurs de f(x) vont donc partir du négatif vers le positif en franchissant le point 0 à l’ordonnée – 3.

L’équation ax + b = 0 (avec a ≠ 0) a une solution unique qui est x = ((- b) / a). La droite d’équation y = ax + b coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées ((-b)/a ; 0).

Comme b = – 3 et a = 2, on en déduit que le signe de devient positif au point de coordonnées (2/3 ; 0).

Pour étudier la variation de f(x), il faut connaître la dérivation en maths :

On notera : f est dérivable sur  et, pour tout xℝ, f ‘(x) = 2x – 3 = 2. f ‘ (x) est donc positive.

Les signes de seront donc : négatif de – ∞ au point 2/3, et positif de la valeur 2/3 à +∞.

Entre deux cours particuliers de maths, nous avons trouvé un entraînement idéal pour les élèves souhaitant entrer en 1ère S ou améliorer leur moyenne durant l’année scolaire en cours : une fiche de révision de Bac Pro sur les fonctions affines, réalisée par l’académie de Poitiers.

Découvrez enfin notre définition des tables de multiplication

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