Dans le monde des mathématiques, certains auteurs (même très anciens) ont joué un rôle essentiel, que l'on découvre à mesure que l'on s'approprie les théories et cas pratiques. C'est le cas des règles de calcul et la formalisation du zéro, que l'on attribue à Brahmagupta, un mathématicien indien du VIIème siècle.
L'Antiquité a été une période très intense de découvertes scientifiques et mathématiques, qui ont été le départ de nouveaux raisonnements. Découvrons ensemble l'importance de Brahmagupta dans l'histoire des maths ainsi que son rôle dans la formalisation du zéro !
Brahmagupta était un mathématicien et astronome indien, sa date de naissance se situant autour de 598. Son œuvre majeure, le Brahmasphutasiddhanta, rédigée en 628, contient notamment des règles concernant : le zéro ; les nombres positifs et négatifs ; les équations ; la géométrie ; les calculs astronomiques. Sa contribution majeure n'est pas d'être à l'origine du zéro, mais d'avoir joué un rôle essentiel dans sa formalisation mathématique.
Brahmagupta, une grande figure des mathématiques indiennes
Vers 598 (date officielle non connue)
Bhillamala, ou Bhinmal dans l'actuel Rajasthan
Mathématicien, astronome, auteur scientifique
Brahmagupta a essayé de déterminer ce qui se passe lorsqu’on divise par zéro. Ses règles n’étaient pas correctes selon les mathématiques modernes, mais cela montre qu’il réfléchissait déjà profondément à ce concept
Né en Inde, à Bhillamala (actuel Bhinmal au Rajastjan, même si son origine est contestée par d'autres qui le situent à la frontière côté Pakistan1), cet auteur scientifique compte parmi les plus grands mathématiciens de ces derniers siècles, il a d'ailleurs eu plusieurs casquettes selon les sourceshistoriques :
Mathématicien
Astronome
Auteur scientifique
Brahmagupta est particulièrement lié à Ujjain, une ville située dans l’actuel Madhya Pradesh, qui était alors l’un des grands centres scientifiques de l’Inde, notamment pour l’astronomie et des mathématiques. Les raisons sont nombreuses :
- La ville se trouvait au cœur des échanges intellectuels entre différents savants indiens
- Son importance scientifique s’est notamment développée grâce à son rôle dans l’observation et le calcul des phénomènes célestes
- L’astronomie était essentielle pour établir les calendriers, prévoir les éclipses et déterminer les positions des astres.
Brahmagupta a été directeur de l'Observatoire astronomique d’Ujjain, qui a été le terreau de ses travaux scientifiques pour rédiger son oeuvre célèbre, le Brāhmasphuṭasiddhānta, vers 628. Dans cet ouvrage, il utilise les mathématiques pour résoudre des problèmes astronomiques et donne des règles importantes concernant les nombres négatifs et surtout l'invention du zéro au sens arithmétique.
Dans quel contexte Brahmagupta a-t-il travaillé ?
Les mathématiques et l’astronomie en Inde au VIIe siècle
Au VIIᵉ siècle, en Inde, les mathématiques et l’astronomie étaient étroitement liées. Les savants utilisaient les mathématiques pour mieux comprendre et prévoir les phénomènes observés dans le ciel. Les calculs permettaient notamment :
D’établir des calendriers, indispensables pour organiser l’année et déterminer les dates des fêtes religieuses
D'étudier les mouvements du Soleil, de la Lune et des planètes, permettant de prévoir des phénomènes célestes
Pour en savoir plus sur le contexte scientifique de l'époque, voici un podcast incontournable :
Brahmagupta n’est pas parti de zéro (littéralement)
Les travaux de Brahmagupta s’inscrivent dans une tradition scientifique beaucoup plus ancienne. Bien avant le VIIᵉ siècle, les savants indiens avaient déjà développé des méthodes mathématiques utilisées notamment pour l’astronomie.
Parmi leurs grandes avancées figure le système décimal positionnel, dans lequel la valeur d’un chiffre dépend de sa position. Ce système permettait d’effectuer plus facilement des calculs complexes.
Deux influences majeures ont permis à Brahmagupta d'avancer sur ses travaux :
D'environ 476 à 550
Vie d'Āryabhata, grand mathématicien et astronome indien
Ses travaux ont fortement influencé l’astronomie indienne.
D'environ 505 à 587
Vie de Varāhamihira, astronome et mathématicien
Il a rassemblé et développé des connaissances astronomiques antérieures.
Ainsi, l’histoire des mathématiques ne commence pas avec Brahmagupta : il appartient à une longue tradition indienne qui a progressivement permis de grandes avancées dans le calcul, l’astronomie et la compréhension des nombres.
Les principaux ouvrages de Brahmagupta
Brahmagupta est principalement connu pour deux ouvrages scientifiques2.
- Le premier, le Brāhmasphuṭasiddhānta, écrit en 628, présente des travaux importants en mathématiques et en astronomie, notamment sur le zéro et les nombres négatifs
- Le second, le Khaṇḍakhādyaka, est un ouvrage consacré surtout à l’astronomie et aux calculs permettant de déterminer les positions des astres
Le Brahmasphutasiddhanta
Brahmagupta
Vers 628
Traité de mathématiques et d’astronomie présentant des règles sur le zéro, les nombres négatifs, l’algèbre et les calculs astronomiques
Rédigé en 628 par Brahmagupta, le Brahmasphutasiddhanta est son ouvrage majeur et l’un des textes les plus importants de l’histoire des mathématiques indiennes. Il rassemble des connaissances :
- En astronomie
- En arithmétique
- En algèbre
- En géométrie
Brahmagupta y présente notamment des règles précises concernant le zéro et les nombres négatifs, ainsi que des méthodes de calcul et de résolution d’équations. On y trouve également l’identité de Brahmagupta, liée aux sommes de deux carrés, ainsi que le théorème de Brahmagupta, concernant les quadrilatères cycliques.
Il a joué un rôle essentiel dans le développement des mathématiques indiennes et dans la transmission de nouvelles méthodes de calcul vers d’autres régions du monde.
L'ouvrage est entièrement rédigé en vers ! Une prouesse au vu de la thématique.
Le Khandakhadyaka
Brahmagupta
Vers 665
Manuel d’astronomie pratique expliquant les calculs nécessaires pour déterminer les positions des astres, les éclipses et les calendriers
Rédigé vers 665, le Khandakhadyaka est un ouvrage plus tardif de Brahmagupta, principalement consacré à l’astronomie pratique. Contrairement au Brahmasphutasiddhanta, qui accorde une place importante aux mathématiques théoriques, ce texte est davantage tourné vers les calculs astronomiques.
Il présente des méthodes permettant de déterminer les positions des astres, les mouvements du Soleil et de la Lune, ainsi que différents phénomènes célestes. Brahmagupta y fournit également des procédures utiles pour établir des calendriers et effectuer des calculs liés au temps.
Le titre "Khandakhadyaka" est souvent interprété comme « mets à grignoter » ou « friandise », une image qui suggère un ouvrage conçu comme un manuel pratique, facile à utiliser pour les calculs astronomiques.
Brahmagupta a-t-il inventé le zéro ?
Il est trop simpliste de dire que Brahmagupta est celui qui a inventé le zéro. Avant Brahmagupta, le zéro n’apparaît pas soudainement : plusieurs formes d’usage existaient déjà en Inde, et même ailleurs. Certains présentent l'invention du zéro par les mayas comme antérieure.
Reprenons les quatre étapes de l'invention du zéro avant l'auteur :
| Étape | Explication | Exemple / apport |
|---|---|---|
| 1. Emplacement vide | Un emplacement vide permet de distinguer les positions dans un nombre. | 105 indique qu’il n’y a aucune dizaine, contrairement à 15. |
| 2. Symbole du zéro | Un symbole est progressivement utilisé pour représenter cet emplacement vide. | Le symbole permet de noter clairement l’absence d’une valeur à une position donnée. |
| 3. Zéro comme nombre | Le zéro commence à être considéré comme un nombre à part entière, et non simplement comme une absence. | Il peut alors entrer dans le raisonnement mathématique. |
| 4. Calcul avec le zéro | En 628, Brahmagupta formalise des règles de calcul avec le zéro. | Il décrit notamment des règles pour l’addition, la soustraction et la multiplication. |
Son apport concerne donc surtout la formalisation du calcul avec le zéro, et plus exactement :
- Le traitement du zéro comme nombre ;
- Les règles d'addition ;
- Les règles de soustraction ;
- La relation entre un nombre et son opposé ;
- L' intégration du zéro dans un système de calcul.
Brahmagupta n'est pas l'inventeur du symbole zéro. Sa contribution majeure est d'avoir donné au zéro un statut mathématique explicite et formulé des règles pour calculer avec lui.
Brahmagupta et les nombres négatifs
Gains et dettes pour comprendre les nombres
L’analogie du gain et de la dette permettait à Brahmagupta de rendre les nombres négatifs plus faciles à comprendre dans des situations concrètes :
- Nombre positif = gain / bien : il représente ce que l’on possède ou ce que l’on gagne. Par exemple, +10 peut représenter un gain de 10 pièces.
- Nombre négatif = dette / perte : il représente ce que l’on doit ou ce que l’on perd. Par exemple, −10 peut représenter une dette de 10 pièces.
- Zéro = équilibre : il peut représenter une situation où les gains et les dettes se compensent.
Cette méthode permettait donc d’expliquer les opérations algébriques à partir de situations économiques familières.
Les règles de calcul
Concrètement, on peut résumer les règles de calcul de Brahmagupta de la manière suivante :
| Concept historique | Interprétation moderne |
|---|---|
| Gain + gain | Addition de deux nombres positifs |
| Dette + dette | Addition de deux nombres négatifs |
| Gain + dette | Addition de nombres de signes opposés |
| Gain × dette | Résultat négatif |
| Dette × dette | Résultat positif |
| Nombre + zéro | Le nombre reste inchangé |
L’analogie du gain et de la dette permettait de comprendre concrètement les nombres positifs et négatifs. Un nombre positif représente un gain ou un bien, tandis qu’un nombre négatif représente une dette ou une perte.
Par exemple, si une personne possède 10 pièces (+10) mais doit 6 pièces (−6), son bilan est de +4 pièces. Cette approche permet de dépasser une arithmétique limitée aux quantités positives en donnant un sens aux nombres négatifs et à leurs opérations.
Elle annonce ainsi le principe des nombres relatifs utilisés aujourd’hui3, qui permettent de représenter des valeurs situées de part et d’autre de zéro.
Les contributions de Brahmagupta à l’algèbre
Brahmagupta a contribué à l'avancement de l'algèbre, pas autant que le mathématicien Al-Khwarizmi, mais voici ses découvertes.
Les équations du premier degré
Brahmagupta utilise des méthodes qui permettent de résoudre des problèmes avec une inconnue, comme une quantité que l’on cherche à déterminer. Pour résoudre une équation du premier degré, on transforme progressivement le problème en utilisant des règles de calcul.
Par exemple, un problème concret peut être traduit en relation mathématique, puis calculé pour trouver l’inconnue. Cette démarche prépare le développement de l’algèbre.
Les équations du second degré
Brahmagupta étudie également les équations du second degré, appelées équations quadratiques. Elles permettent de rechercher une ou plusieurs solutions à partir d’une inconnue élevée au carré. Ses méthodes sont importantes dans l’histoire du zéro et de l’algèbre, car elles montrent qu’il était possible de résoudre systématiquement ce type de problème.
Par exemple, pour x² − 5x + 6 = 0, on cherche deux nombres dont le produit est 6 et la somme 5 : 2 et 3. On peut donc écrire (x − 2)(x − 3) = 0, ce qui donne deux solutions : x = 2 ou x = 3.
Cette démarche illustre la recherche organisée des solutions.
Les équations diophantiennes
Les équations diophantiennes sont des équations dans lesquelles on cherche des solutions appartenant généralement aux nombres entiers, plutôt qu’à tous les nombres.
Brahmagupta a contribué au développement de méthodes permettant de résoudre certaines équations indéterminées, c’est-à-dire des équations pouvant avoir plusieurs solutions. Il a notamment étudié des problèmes où plusieurs nombres doivent satisfaire simultanément une même relation.
L'apport à la méthode chakravala
Brahmagupta n’a pas créé à lui seul la méthode chakravala sous sa forme complète. Il a cependant joué un rôle important dans la tradition mathématique indienne en étudiant certaines équations indéterminées et en développant des techniques permettant d’en rechercher les solutions.
Ces travaux ont contribué à établir des méthodes qui seront ensuite approfondies par d’autres mathématiciens indiens. La méthode chakravala, utilisée notamment pour résoudre certaines équations complexes, est surtout associée à des développements ultérieurs, en particulier ceux de Bhāskara II au XIIᵉ siècle4.
La formule de Brahmagupta en géométrie
Le calcul de l'aire d'un quadrilatère cyclique constitue l'une des contributions importantes de Brahmagupta à la géométrie.
Calculer l’aire d’un quadrilatère cyclique
Un quadrilatère cyclique est un quadrilatère dont les quatre sommets se trouvent sur un même cercle. Brahmagupta a donné une formule permettant de calculer son aire à partir de la longueur de ses quatre côtés :
avec :
où :
- = aire du quadrilatère
- = longueurs des quatre côtés
- = demi-périmètre
Cette formule est remarquable car elle permet de déterminer l’aire sans connaître directement les angles ou les diagonales du quadrilatère.
Brahmagupta et ses contributions en astronomie
Brahmagupta n'était pas seulement un mathématicien, il était un véritable scientifique, avec plusieurs cordes à son arc. En l'occurrence, l'astronomie fait également partie des domaines où il a joué un rôle significatif.
Les calculs astronomiques
Il a étudié les positions des astres et les mouvements du Soleil, de la Lune et des planètes. Ses travaux permettent aussi de calculer et de prévoir certains phénomènes célestes, notamment les éclipses. Il a développé des tables astronomiques et des méthodes de calcul pour déterminer les positions des corps célestes à différentes dates.
Quelle conception avait-il de la Terre ?
Brahmagupta s’inscrit dans la tradition astronomique indienne qui considère la Terre comme sphérique. Il développe également des raisonnements sur les mouvements des astres et des corps célestes, afin d’expliquer et de calculer leurs positions.
Comment les idées de Brahmagupta se sont-elles diffusées ?
De l’Inde vers le monde islamique
Les travaux de Brahmagupta s’inscrivent dans une tradition scientifique indienne qui a progressivement dépassé les frontières du sous-continent. À partir du VIIIᵉ siècle, sous le califat abbasside, des savants du monde islamique manifestent un intérêt important pour les connaissances scientifiques venues d’Inde. Des textes d’astronomie et de mathématiques indiennes sont alors traduits, adaptés et étudiés en arabe.
Cette circulation concerne notamment les travaux astronomiques contenus dans le Brahmasphutasiddhanta et le Khandakhadyaka. Les connaissances indiennes fournissent des tables astronomiques, des méthodes permettant de calculer les positions des astres et des procédures pour effectuer différents calculs liés au calendrier et aux phénomènes célestes. Ces connaissances ne sont toutefois pas simplement copiées : les savants du monde islamique les comparent, les corrigent, les développent et les intègrent à leurs propres traditions scientifiques.
Du monde islamique vers l’Europe
La diffusion vers l’Europe se fait ensuite progressivement. Il ne faut pas imaginer que les œuvres de Brahmagupta sont directement passées de l’Inde à l’Europe. Le processus est beaucoup plus long.
Les connaissances mathématiques indiennes sont d’abord traduites ou adaptées en arabe. Elles sont ensuite utilisées et développées par des savants du monde islamique et perse, avec des scientifiques comme Omar Khayyam.
À partir du Moyen Âge, une partie de ces connaissances parvient à l’Europe occidentale, notamment grâce aux contacts entre les mondes islamique et chrétien, aux échanges commerciaux et intellectuels et aux traductions de textes arabes en latin.
La diffusion concerne particulièrement les méthodes de calcul et le système de numération positionnelle, y compris sur l'invention du zéro arabe. Celui-ci permet d’écrire les nombres de manière beaucoup plus pratique que certains systèmes de numération utilisés auparavant en Europe. La présence du zéro est particulièrement importante : elle permet de représenter une position vide dans l’écriture des nombres et facilite les calculs.
Il faut cependant distinguer l’influence directe de Brahmagupta de l’influence plus générale des mathématiques indiennes. Les Européens ne découvrent pas nécessairement les méthodes de Brahmagupta dans leur forme originale. Ils reçoivent plutôt un ensemble de connaissances indiennes qui ont été transmises, traduites et transformées par les savants du monde islamique.
Pourquoi parle-t-on de chiffres « arabes » s’ils viennent d’Inde ?
L’expression « chiffres arabes »5 peut sembler paradoxale. En réalité, les chiffres que nous utilisons aujourd’hui ont une origine indienne. Le système de numération décimale positionnelle s’est développé en Inde avant d’être transmis au monde islamique.
Les savants du monde islamique ont joué un rôle essentiel dans leur adoption, leur développement et leur diffusion. C’est par l’intermédiaire de cette tradition arabo-musulmane que ces chiffres sont ensuite arrivés en Europe. C’est pourquoi ils ont été appelés « chiffres arabes » en Occident, même si leur origine historique est indienne.
Tableau récapitulatif des contributions de Brahmagupta
Brahmagupta joue encore un rôle important de nos jours en termes d'héritage scientifique et mathématique, comme d'autres avec l'échiquier de Sissa. Ses contributions dans différents domaines ont permis de faire avancer la réflexion dans certaines thématiques. En voici un résumé :
| Domaine | Contribution à retenir |
|---|---|
| Arithmétique | Règles de calcul avec le zéro et les nombres négatifs |
| Algèbre | Méthodes de résolution d’équations |
| Géométrie | Calcul de l’aire d’un quadrilatère cyclique |
| Astronomie | Calculs des mouvements célestes et des éclipses |
| Histoire des sciences | Contribution à la transmission des mathématiques indiennes |
Chronologie de Brahmagupta
Pour comprendre la vie de Brahmagupta, voici notre chronologie approximative :
Vers 598
Naissance probable de Brahmagupta à Bhillamala
Début du VIIème siècle
Formation et activité scientifique
628
Rédaction et publication du Brahmasphutasiddhanta
Vers 665
Rédaction et publication du Khandakhadyaka
Après 665
Diffusion progressive de ses travaux dans le monde
À retenir sur Brahmagupta
🇮🇳 Brahmagupta était un mathématicien et astronome indien du VIIe siècle
📚 Il a écrit le Brahmasphutasiddhanta en 628
0️⃣ Il a joué un rôle majeur dans la formalisation du zéro et de ses règles de calcul
➖ Il a travaillé avec les nombres négatifs et développé des méthodes algébriques
🌍 Ses travaux ont participé à la diffusion internationale des mathématiques indiennes
Sources
- Maths et Tiques, Fiche biographique de Brahmagupta, https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-celebres/brahmagupta, consulté le 25 août 2026
- Encyclopedia Universalis, Biographie de Brahmagupta, https://www.universalis.fr/encyclopedie/brahmagupta/, consulté le 25 août 2026
- Le Livre Scolaire, Nombres relatifs, https://www.lelivrescolaire.fr/page/57307665, consulté le 26 août 2026
- Techno Sciences, Comprendre la méthode chakvrala, https://www.techno-science.net/fr/definitions/methode-chakravala#google_vignette, consulté le 26 août 2026
- Institut du Monde Arabe, Origine des chiffres arabes, https://vous-avez-dit-arabe.webdoc.imarabe.org/arts-science/les-sciences/pourquoi-parle-t-on-de-chiffres-arabes, consulté le 28 août 2026
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