L’échiquier de Sissa est une célèbre légende racontée par Ibn Khallikan, historien et biographe musulman du XIIIᵉ siècle. Elle raconte que Sissa demande 1 grain de blé sur la première case d’un échiquier, puis de doubler la quantité sur chaque case. Si 1 grain paraît insignifiant, mais après 64 cases, le nombre devient gigantesque.
Cette histoire avec un grand paradoxe illustre ainsi la puissance de la croissance exponentielle et les limites de notre intuition. Entre source historique, légende et mathématiques, c'est parti pour un périple de découvertes sur cet échiquier !
Ibn Khallikan était un historien, biographe et juriste musulman du XIIIᵉ siècle, célèbre pour avoir écrit un important dictionnaire biographique consacré aux personnalités du monde islamique médiéval. Il a notamment transmis la légende de Sissa et de son célèbre échiquier.
Quel est le lien entre Ibn Khallikan et l’échiquier de Sissa ?
L’échiquier de Sissa est une célèbre légende médiévale associée à Ibn Khallikan, historien et biographe musulman du XIIIᵉ siècle. Il est l’un des auteurs médiévaux ayant contribué à la transmission de cette histoire, ayant vécu au même siècle que d'autres auteurs connus, tels que l'Iranien Omar Khayyam.
Selon le récit, Sissa, présenté comme l’inventeur du jeu d’échecs, demande au roi une récompense particulière, celle de doubler la récompense sur chaque case de l'échiquier, sachant que le jeu contient 64 cases.
Cette progression paraît insignifiante au début, mais elle devient rapidement gigantesque. Sur les 64 cases de l’échiquier, le total atteint 2⁶⁴ − 1, soit :
grains... Rien que ça !
Pour vous donner un ordre d'idée, cela représente aussi :
La production mondiale annuelle de riz est d'environ 800 milliards de grains. Il faudrait environ 23 000 ans de récolte mondiale
pour atteindre ce total.
Étalé sur la surface de la France (environ 550 000 km2), ce riz formerait une couche continue d'environ 30 metres d'épaisseur, soit un immeuble de 10 étages.
À environ 25 mg par grain, cela représente une masse totale d'environ 460 milliards de tonnes, soit 3 fois la masse du mont Everest (environ 160 milliards de tonnes).
À raison d'un grain compté chaque seconde, sans jamais s'arrêter, il faudrait environ 585 milliards de milliards d'années pour tout calculer, soit bien plus que l'âge de l'Univers.
Voici à quoi ressemble l'échiquier, concrètement :
Qui était Ibn Khallikan ?
Vers 1211
À Erbil (actuel Irak)
Historien, biographe
Son oeuvre majeure, qu'il a mis 20 ans à écrire, contient la modique somme de 2700 pages !
Ibn Khallikan est un historien et biographe musulman1 né en 1211 à Erbil, dans l’actuel Irak, et mort en 1282 à Damas. Il est principalement connu pour son travail consacré à la vie de nombreuses personnalités du monde islamique médiéval.
Son œuvre majeure est le Wafayāt al-aʿyān, que l’on peut traduire par Les décès des hommes éminents. Il s’agit d’un important dictionnaire biographique dans lequel Ibn Khallikān rassemble des informations sur des savants, écrivains, poètes, philosophes, hommes politiques et autres personnalités importantes de son époque. Son ouvrage constitue une source historique précieuse pour connaître la culture et la vie intellectuelle du monde islamique médiéval.
Légende ou réalité ?
Pour éviter toute confusion entre histoire et légende, voici un récapitulatif concernant l'échiquier de Sissa :
| Élément | Statut |
|---|---|
| Ibn Khallikan | Personnage historique |
| Son œuvre biographique | Source historique |
| Sissa | Personnage associé à une tradition légendaire |
| Invention des échecs par Sissa | Non établie historiquement |
| Récompense en grains | Élément du récit traditionnel |
| Calcul sur 64 cases | Démonstration mathématique exacte |
Qui est Sissa dans la légende de l’échiquier ?
Retour sur l'histoire de Sissa et de son échiquier légendaire2 !
Le sage à qui la tradition attribue les échecs
Selon la légende, Sissa est présenté comme un sage et un homme particulièrement intelligent. Il aurait conçu le jeu d’échecs afin de montrer au souverain les différentes stratégies utilisées dans une bataille. Impressionné par cette invention, le souverain lui demande de choisir la récompense qu’il souhaite recevoir. Sissa ne réclame ni richesse, ni or, ni pouvoir.
Il fait alors une demande qui semble très modeste : un grain de blé sur la première case de l’échiquier, puis le double sur chaque case suivante. Cette demande, en apparence simple, va pourtant conduire à une quantité de grains absolument gigantesque.
Pourquoi Sissa aurait-il inventé les échecs ?
Selon une interprétation symbolique de la légende, Sissa aurait créé les échecs pour montrer au souverain qu’un roi, malgré son pouvoir, ne peut pas agir seul. Pour avancer et gagner une partie, il doit compter sur les autres pièces et sur leur complémentarité. Le jeu devient ainsi une représentation de la stratégie, mais aussi de la coopération et de l’interdépendance.
Cette histoire peut également proposer une réflexion sur le pouvoir : même le personnage le plus important dépend des autres pour atteindre son objectif. Il s’agit toutefois d’une interprétation du récit, et non d’une explication historiquement établie.
L'échiquier représente à quel point travailler ensemble est essentiel pour gagner
Même le pion le plus puissant de l'échiquier a besoin des autres pour s'en sortir
Pourquoi existe-t-il plusieurs versions ?
La légende de Sissa nous est parvenue à travers différents auteurs et récits, ce qui explique que certains détails changent au fil du temps. L’une des versions médiévales les plus connues est rapportée par Ibn Khallikān, au XIIIᵉ siècle, avec un roi nommé Shirham et le brahmane Sissa ben Dahir. D’autres récits plus récents utilisent plutôt les noms Belkib ou Balhait pour le souverain.
- Le contenu de la récompense varie : certaines versions parlent de grains de blé, tandis que d’autres parlent de grains de riz.
- Les circonstances peuvent aussi changer : Sissa aurait parfois inventé le jeu pour distraire le roi, ou pour lui transmettre une leçon sur le pouvoir et la stratégie.
- La fin diffère elle aussi : dans certaines versions, le roi comprend qu’il ne peut pas payer la récompense et admire Sissa ; dans d’autres, Sissa est puni ou doit compter lui-même les grains.
Malgré ces différences, le principe mathématique reste toujours le même : placer une quantité sur la première case, puis doubler cette quantité sur chaque case suivante. C’est cette progression qui constitue le véritable cœur mathématique de la légende.
Quel est le problème mathématique de l’échiquier de Sissa ?
Le paradoxe de l’échiquier de Sissa repose sur une idée très simple : doubler une quantité à chaque étape. Au début, les nombres semblent minuscules : 1, 2, 4, 8… On pourrait donc penser que la quantité totale restera raisonnable. Pourtant, après 64 cases, le résultat devient gigantesque, comme l'atteste ce tableau récapitulatif :
| Case | Nombre de grains |
|---|---|
| 1 | 1 grain |
| 2 | 2 grains |
| 3 | 4 grains |
| 4 | 8 grains |
| 8 | 128 grains |
| 16 | 32 768 grains |
| 32 | 2 147 483 648 grains |
| 64 | 9 223 372 036 854 775 808 grains |
La formule permettant de connaître le nombre de grains sur une case est :
Nombre de grains = 2ⁿ⁻¹
Pour obtenir le total des grains sur les 64 cases, on additionne :
1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶³
Cette somme se calcule grâce à la formule :
2⁶⁴ − 1
Soit : 18 446 744 073 709 551 615 grains. Le problème mathématique peut être résumé de la manière suivante en vidéo :
Pourquoi le nombre de grains augmente-t-il aussi vite ?
Le nombre de grains augmente aussi vite parce que le problème de Sissa repose sur une croissance multiplicative, et non sur une simple addition, ou croissance additive. Il s'agit d'une équation simple en mathématiques, comme celles détaillées par le mathématicien indien Brahmagupta.
Pour comprendre la différence, imaginons deux situations.
Croissance additive
1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6
Ici, on ajoute toujours 1. Le nombre augmente donc progressivement.
Croissance multiplicative
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128…
Le nombre ne fait donc pas qu’augmenter : il double à chaque étape.
Croissance exponentielle
Dans le problème de Sissa, cette suite multiplicative donne lieu à une explosion des gains, c'est ce que l'on appelle la croissance exponentielle. C'est un peu comme l'effet boule de neige !
Comment calculer le nombre de grains sur une case ?
Pour un exemple de calcul de croissance exponentielle3, l'échiquier de Sissa est l'exemple idéal, avec une formule simple et une démonstration facile à suivre.
La formule mathématique
Pour comprendre le calcul, il faut partir de la règle de Sissa : à chaque nouvelle case, on double le nombre de grains présent sur la case précédente.
Étape 1
Débuter avec la 1ère case
Sur la première case, il y a 1 grain. On peut écrire : 1 = 2⁰ Pourquoi 0 ? Parce que la première case correspond à la puissance 0.
Étape 2
Passer à la deuxième case
On double le nombre de grains : 1 × 2 = 2 Donc : 2 = 2¹
Étape 3
Continuer le doublement
Pour chaque case, on multiplie encore par 2 : 2 × 2 = 4 → 2² 4 × 2 = 8 → 2³ 8 × 2 = 16 → 2⁴ On obtient donc : 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → …
Étape 4
Trouver la formule générale
On remarque que le numéro de la case correspond toujours à une puissance de 2 dont l’exposant est un de moins que le numéro de la case. La formule est donc : Nombre de grains sur la case n = 2ⁿ⁻¹
Étape 5
Attention à ne pas confondre la 64ᵉ case et le total
Sur la 64ᵉ case : 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 grains Mais ce nombre représente uniquement la quantité présente sur la dernière case. Pour connaître le nombre de grains sur l’ensemble de l’échiquier, il faut additionner toutes les cases : 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains
Ainsi, il faut bien garder en tête :
❌ la 64ème case ne vaut pas le total de l'échiquier
✅ la formule de Sissa inclut la 64ème case, qui vaut elle-même la moitié du total
Partons de : S = 1 + 2 + 4 + ... + 2⁶³
Multiplier par 2 : 2S = 2 + 4 + 8 + ... + 2⁶⁴
Puis soustraire : 2S − S = 2⁶⁴ − 1
Donc : S = 2⁶⁴ − 1
Combien pèseraient tous les grains de Sissa ?
Pour ce qui est de la masse totale des grains de riz de l'échiquier, la formule est relativement simple. En revanche, la difficulté réside dans le choix de la masse de chaque grain de riz4, le résultat peut alors varier de façon significative. On va donc plutôt parler d'une estimation et non d'un résultat exact.
grammes selon différents facteurs
Méthode de calcul du poids total des grains de Sissa
Ainsi, la formule pour déterminer le poids des grains de riz de l'échiquier de Sissa est :
Masse totale = nombre de grains × masse moyenne d’un grain
On part de deux éléments connus :
Le nombre de grains:
18 446 744 073 709 551 615
La masse moyenne d'un grain:
Environ25 milligrammes
Cela donne :
Formule de base
Masse totale = nombre de grains × masse moyenne d’un grain
Calcul de la masse totale
18 446 744 073 709 551 615 x 25 mg
Soit 461 168 601 842 738 790 375 mg
Lecture du résultat
Environ 461 168 601 tonnes
Pourquoi les estimations diffèrent-elles ?
Contrairement au nombre de grains, qui est mathématiquement exact dans le problème de Sissa, leur masse totale est une estimation. Elle dépend du poids moyen retenu pour chaque grain. Ce poids peut varier selon plusieurs facteurs :
- Le type de céréale : un grain de riz et un grain de blé n’ont pas la même masse
- La variété : certaines variétés produisent des grains plus gros ou plus lourds que d’autres
- L’humidité : un grain contenant davantage d’eau pèse plus lourd
- La taille du grain : même au sein d’une même variété, les grains peuvent avoir des dimensions différentes
- L’hypothèse utilisée : par exemple, choisir 25 mg, 30 mg ou 35 mg par grain donnera des résultats différents
Prenons le même calcul pour le plus petit poids (20mg par grain de riz) et le plus gros (30mg). De ce fait, le poids total des grains de l'échiquier de Sissa peut varier ainsi :
| Masse d’un grain | Masse totale |
|---|---|
| 20 mg | 368 934 881 tonnes |
| 30 mg | 553 402 322 tonnes |
Où retrouve-t-on ce type de croissance ?
Que ce soit en biologie, en finance ou en sociologie, les domaines où ce type de croissance5 existent sont nombreux.
La multiplication cellulaire en fait partie. C'est la même chose avec les germes (exemple de la Covid-19).
Les intérêts composés sont des intérêts qui en produisent d'autres et qui viennent s'ajouter au capital
Capacité de stockage, algorithmes, les bits sont la base d'un calcul exponentiel
D'ailleurs, vous en saurez plus sur l'origine des algorithmes en vous renseignant sur le père de l'algèbre, Al-Khwarizmi.
Ibn Khallikan, Sissa et les mathématiques : que faut-il vraiment retenir ?
| Élément | À retenir |
|---|---|
| Ibn Khallikān | Auteur médiéval ayant contribué à transmettre le récit |
| Sissa | Sage légendaire associé à l’invention des échecs |
| Échiquier | 64 cases |
| Première case | 1 grain |
| Règle | Doubler la quantité à chaque case |
| 64ᵉ case | 2⁶³ grains |
| Total | 2⁶⁴ − 1 grains |
| Résultat | 18 446 744 073 709 551 615 grains |
| Notion mathématique | Progression géométrique / croissance exponentielle |
Sources
- Encyclopedia Universalis, Biographie d'Ibn Khallikan, https://www.universalis.fr/encyclopedie/ibn-khallikan/, consulté le 29 août 2026
- Echecs et stratégie, La légende de Sissa, https://echecs-et-strategie.com/2026/07/la-legende-de-sissa/, consulté le 30 août 2026
- Blog de l'Université de Caen, Le mythe ou le problème de l’échiquier de Sissa : du CP au lycée !, https://jpgeorget.pages.unicaen.fr/maths/numeration-calcul/echiquier-sissa/, consulté le 30 août 2026
- Bens Original, Le riz: l'une des plus anciennes cultures au monde, https://ch.bensoriginal.com/ch-fr/reiswissen/reispflanze, consulté le 30 août 2026
- The Conversation, Face au mur de la croissance exponentielle, https://theconversation.com/face-au-mur-de-la-croissance-exponentielle-135331, consulté le 30 août 2026
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