Définition

  • Un polynôme est un ensemble de variables ayant des coefficients différents via un ensemble de soustractions ou d’additions sous la forme : a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n}
  • Une équation polynomiale est sous la forme a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n} = 0
  • Une fonction polynomiale est sous la forme f(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n} = 0
  • Les polynôme se retrouvent dans de nombreux domaines des mathématiques comme les équations ou les fonctions
  • Le domaine de définition d’un polynôme est sur R étant donné que chacun des éléments qui le compose est défini sur R
  • Le degré d’un polynôme correspond à la puissance la plus élevée de la variable du polynôme
  • Le nombre de termes est le nombre de variables associées à ce polynôme
  • Il est possible d’additionner ou de multiplier des polynômes entre eux afin d’obtenir un autre polynôme

Exercice corrigé

Exercice

Pour l’ensemble de ces équations, déterminer si l’équation est un polynôme. Si oui, déterminer son degré et son nombre de termes.

  1. 1. 3x^{2} + 4x = 4x +2
  2. 2. (3x^{2} +2x)(2x+3) = 0
  3. 3. \frac{1}{3x+4}=0
  4. 4. \frac{1}{(3x+4)}=\frac{(2x+5)}{(3x+4)}

 

Corrigé

  1. 1. 3x^{2} + 4x = 4x +2

Pour déterminer si cette équation est une équation polynomiale, il faut placer l’ensemble des éléments du même côté pour obtenir une équation sous la forme … = 0.

3x^{2} + 4x = 4x +2 \Leftrightarrow  3x^{2} + 4x - 4x - 2 = 0 \Leftrightarrow  3x^{2} - 2 = 0

L’équation est donc bien un polynôme de degré 2 et contient 2 termes.

  1. 2. (3x^{2} +2x)(2x+3) = 0

On développe notre équation afin de déterminer le nombre de termes et le degré du polynôme :

(3x^{2} +2x)(2x+3) = 0 \Leftrightarrow  3x^{2}*2x + 3x^{2}*3 +  2x*2x + 2x*3 = 0 \Leftrightarrow  6x^{3} + 9x^{2} +4x^{2} + 6x = 0  \Leftrightarrow  6x^{3} + 11x^{2} + 6x = 0

L’équation est donc un polynôme de degré 3 et contient 3 termes.

  1. 3. \frac{1}{3x+4}=0

L’équation étant sous la forme d’une fraction, on ne peut pas considérer qu’il s’agit d’un polynôme.

  1. 4. \frac{1}{(3x+4)}=\frac{(2x+5)}{(3x+4)}

On effectue un produit en croix entre les fractions pour simplifier notre équation :

\frac{1}{3x+4}=\frac{2x+5}{3x+4} \Leftrightarrow  3x+4 = (3x+4)(2x+5) \Leftrightarrow  3x+4 = 3x*2x + 3x*5 + 4*2x + 4*5 \Leftrightarrow  3x + 4 = 6x^{2} + 15x + 8x + 20 \Leftrightarrow  3x + 4 = 6x^{2} + 23x + 20 \Leftrightarrow  6x^{2} + 23x + 20 - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow  6x^{2} + 20x + 16 = 0

Après calcul on obtient donc un polynôme de degré 2 comprenant 3 termes.

Les équations polynomiales

Comme expliqué dans la définition, une équation polynomiale sous la forme : a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n} = 0. Nous allons voir dans les cas suivants comment résoudre les équations polynomiales.

Équation polynomiale de degré nul

Une équation polynomiale de degré nul ne contient en réalité pas de variable. Il n’existe donc pas d’équation dans ce cas la.

Équation polynomiale de degré 1

Une équation polynomiale de degré 1 est une équation sous la forme ax+b = 0 avec a qui appartient à R* et b qui appartiennent à R. On peut résoudre cette équation polynomiale via cette forme générique :

ax+b=0 \Leftrightarrow

ax = -b \Leftrightarrow

x = \frac{-b}{a}

Ainsi pour tout a,b, on peut déterminer la valeur de x.

Équation polynomiale de degré 2

Une équation polynomiale de degré 2 est une équation sous la forme ax^{2}+bx+c  = 0 avec a qui appartient à R* et b et c qui appartiennent à R. On peut résoudre cette équation polynomiale via cette forme générique :

ax^{2} + bx + c = 0

Pour cela, on calcule le déterminant :

\triangle = b^{2} - 4*a*c

On obtient les 2 solutions de l’équation :

x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a}  x_{2} = \frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a}

Pour résoudre pour n’importe quelle autre valeur, il suffit de changer a,b,c par les valeurs correspondantes.

Équation polynomiale de degré 3

Une équation polynomiale de degré 2 est une équation sous la forme ax^{3}+bx^{2} +cx + d  = 0 avec a qui appartient à R* et b,c et d qui appartiennent à R. On ne peut cette fois-ci pas résoudre cette équation polynomiale via sa forme générique. On peut cependant par exemple résoudre ce genre d’équation polynomiale de degré 3 :

x^{3} + 4x^{2} -x - 4 = 0

On veut savoir si 1 est solution de l’équation. On remplace donc x par 1 :

1^{3} + 4*1^{2} - 1 - 4 = 1 + 4 - 1 - 4  = 0

Donc 1 est bien solution de l’équation. Sachant que 1 est solution de l’équation on peut factoriser notre équation comme suit :

(x-1)(ax^{2} + bx + c) = 0

Afin de déterminer les coefficients de a,b,c on développe notre équation ci-dessus :

(x-1)(ax^{2} + bx + c) =  ax^{3} +bx^{2} +cx - ax^{2} - bx -c =  ax^{3} + (b-a)x^{2} +(c-b)x -c

On cherche maintenant à faire correspondre les termes :

\begin{cases}a = 1\\b-a =4 \\c-b = -1 \\d = -4\end{cases}  \Leftrightarrow  \begin{cases}a = 1\\b = 5 \\c = -6 \\d = -4 \end{cases}

On obtient donc l’équation :

(x-1)(ax^{2} + bx + c) = (x-1)(x^{2} +5x - 6) = 0

Si l’on veut résoudre cette équation, il reste simplement à résoudre la partie droite de l’équation à savoir :

x^{2} +5x - 6 = 0

Pour cela, il suffit simplement d’appliquer la formule que l’on a vu dans les équations polynomiales de degré 2.

Les fonctions polynomiales

Comme précisé dans la définition, une fonction polynomiale est sous la forme d’un polynôme

Polynôme de degré nul

Un polynôme de degré nul est un cas particulier. Il s’agit en réalité d’une fonction constante n’ayant donc pas de variable.

A quoi ressemble un polynôme de degré nul ? Polynôme de degré nul : Représente une fonction constante y=ax

Polynôme de degré 1

Un polynôme de degré 1 représente une fonction affine sous le format y = ax+b avec a qui appartient à R* et b qui appartiennent à R. La valeur de b représente l’ordonnée à l’origine (pour x = 0) tandis que la valeur de a représente le coefficient directeur de la fonction. Ainsi, si a est négatif, cela sera une fonction affine décroissante tandis que si a est positif, cela représente une fonction affine croissante.

Qu'est-ce qu'un polynôme de degré 1 ? 2 fonctions affines : Une croissante, une décroissante déterminée par la valeur de a

Polynôme de degré 2

Un polynôme de degré 2 est un polynôme sous la forme y=ax^{2} + bx + c avec a appartient à R* et b et c appartiennent à R. Sa courbe sera forcément une parabole : décroissant puis croissant lorsque a est positif et croissant puis décroissant lorsque a est négatif.

A quoi ressemble la courbe d'un polynôme de degré 2 ? 2 paraboles avec a positif et 2 paraboles avec a négatif.
Toutes les courbes représentent un polynôme de degré 2

Pour déterminer le sens de variation d’une fonction polynomial, cela se passe en plusieurs étapes. Prenons pour exemple le cas de la fonction suivante :

f(x) = 3x^{2} - 6x + 2

  • 1ère étape : On détermine l’ensemble de définition, de dérivabilité et on calcule la dérivée de la fonction. La fonction f est définie et dérivable sur R et sa dérivée

f'(x) = 2*3x - 6 = 6x - 6 = 6(x-1)

  • 2ème étape : On résout l’équation f'(x)>0.

f'(x) > 0 \Leftrightarrow 6(x-1) > 0 \Leftrightarrow x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1

  • 3ème étape : On construit notre tableau de variations. Grâce à l’étape 2, on sait que la fonction f'(x) est positive pour x > 1, négative pour x < 1 et s’annule pour x = 1. De plus, d’après notre connaissance sur les dérivées, on sait que lorsque la fonction f »(x) est négative, la fonction f(x) est décroissante et lorsque f'(x) est positive, la fonction f(x) est croissante. On va donc pouvoir déterminer les variations de notre fonction f.
x -∞1 +∞
f' -0 +
f


-1

Enfin sur notre tableau de variations, on détermine la valeur pour laquelle la valeur de f'(x) est égale à 0 soit pour la valeur x=1 dans notre cas.

f(1) = 3*1^{2} -6*1 +2 = 3 - 6 + 2 = -1

On a ainsi pu déterminer les variations de notre fonction polynomiale. On peut vérifier que notre variation est cohérente. En effet, le coefficient devant le x^{2} étant positif, on sait que la courbe de la fonction doit être une parabole étant décroissante puis croissante.

Polynôme de degré 3

Un polynôme de degré 3 est un polynôme sous la forme y=ax^{3} + bx^{2} + cx + d avec a qui appartient à R* et b,c,d qui appartiennent à R. Contrairement aux polynômes précédents, il n’est ici pas possible d’anticiper les variations de notre fonction polynomiale. Comme pour le polynôme de degré 2, nous allons étudier les variations. Prenons pour exemple la fonction suivante :

f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 6

Comme vu précédemment, nous utilisons les 3 étapes pour déterminer les variations de la fonction :

  • 1ère étape : La fonction f(x) est définie et dérivable sur R et sa dérivée f'(x) est :

f'(x) = 3x^{2} - 3*2x -9 = 3x^{2} - 6x -9

  • 2ème étape : On résout l’équation f'(x) > 0 :

f'(x) > 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 6x -9 > 0

On calcule le déterminant :

\triangle = (-6)^{2} - 4*3*(-9) = 36 + 108 = 144

On obtient nos 2 valeurs de x :

x_{1} = \frac{-(-6) - \sqrt{144}}{2*3} = \frac{-6}{6} = -1  x_{2} = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2*3} = \frac{18}{6} = 3

La fonction f'(x) est donc négative entre -1 et 3 et positive ailleurs.

  • 3ème étape : On construit le tableau de variation

Avant de construire le tableau de variations, on calcule les valeurs de f(x) pour x=-1 et x=3.

f(-1) =  (-1)^{3} - 3*(-1)^{2} - 9*(-1) + 6 = -1 -3 +9 + 6 = 11

f(3) = 3^{3} - 3*3^{2} - 9*3 + 6 = -21

On peut donc construire notre tableau de variations :

x-∞-1....................... 3+∞
f'(x) +- +
f(x)

On a ainsi pu déterminer les variations d’un polynôme de degré 3. Pour information, la courbe de la fonction dont on a défini les variations se situe ci-dessous :

 

A quoi ressemble une courbe d'un polynome de degré 3 ? Courbe de la fonction x^3-3x^2-9x+6

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