Chapitres

Exercice

Soit la fonction f définie par
f(x) = (ex – 1) / (xex + 1).
On désigne par (C) sa courbe
représentative dans le plan(O; i; j)

PARTIE A

1. Soit h la fonction définie
sur R par : h(x) = xex + 1.
Etudiez le sens de variation de h et
démontrez que h(x) > 0 pour tout x de R.

2. Soit g la fonction définie
sur R par g(x) = x + 2 – ex

a) Déterminer les limites de g
en +∞ et en -∞.

b)
Etudier le sens de variation de g et dresser le tableau de variation
de g.

c)
Montrer que l'équation g(x) = 0 admet deux solutions dans R.
On
note α et β ces solutions, avec α > β.

d)
En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

PARTIE B

1. Déterminer les limites de f
en +∞ et en -∞.
Interprêter graphiquement les résultats trouvés (cours de mathématiques).

2.
a) Montrer que pour tout x de R, on a
f'(x) = (exg(x)) / (xex + 1)²

b) En déduire le sens de
variation de f, et dresser le tableau de variation de f.

3.
Déterminer une équation de la tengeante (T) à la
courbe (C) au point d'absisse 0.

4.
Tracer (C) et (T) avec pour unités graphiques 2cm sur l'axe
des absisses et 5cm sur l'axe des ordonnées.

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Correction

PARTIE
A

1.
h est décroissante sur ]-∞
; -1] et croissante sur [-1 ; +∞[

2.
g est la fonction définie sur R par g(x) = x + 2 – ex.

a)
lim
g(x) = -∞
x
-> -∞

lim
g(x) = -∞
x
-> +∞

b)
g est strictement croissante sur ]-∞ ; 0] et strictement
décroissante sur [0 ; +∞[

c)

d)
g(x) < 0 pour x dans ]- ∞ ; β]
et g(x) > 0 pour x appartenant à ] β
; α [.

PARTIE
B

1.
lim
g(x) = -1
x
-> -∞
(C)
a pour asymptote horizontale la droite y = 1 quand x tend vers -∞.

lim
g(x) = 0
x
-> +∞
(C)
a pour asymptote horizontale la droite y = 0 quand x tend vers +∞.

2.
f est strictement croissante sur ] β
; α [ et strictement décroissante sur ]-∞
; α [ et ] β ;
+∞[.

3.
L'équation de (T) est y = x.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !