Sujet et solution

Enoncé
PROBLEME: On considère la fonction f définie sur R-{-1/2,1/2}par f(x)=2x^3-5/1-4x²
A:etude d’une fonction auxillaire g:
on désigne par g la fonction définie sur R par g(x)=-4x^3+3x-20
1) déterminerla dérivée g’ de la fonction g et dresser le tableau de variation de g.
2)démontrer que l’équation g(x)=0 a une solution unique notée a et donner un encadrement de a d’amplitude 0.01
3) en déduire le signe de la fonction g sur R
B:étude de la fonction f:
1)déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (c’est-à-dire en -00, en +00, en-1/2 et en 1/2)
2)déterminer la dérivée de la fonction f et montrer que l’on a:
f’(x)=g(x)*h(x) pour tout x différent de -1/2 etx différent de 1/2 ou h est une fonction à préciser.
3)déduire alors de la question A)3) le signe de f’ sur R{-1/2,1/2}
4)dresser le tableau de variation de la fonction f
5)montrer qu’il existe 3 réels a,b et c tels que l’on ait pour tout x différent de -1 et x différent de 1 f(x)=ax+ bx+c/1-4x².
 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

PROBLEME: On considère la fonction f définie sur R-{-1/2,1/2}par f(x)=2x^3-5/1-4x²

A:etude d’une fonction auxillaire g: on désigne par g la fonction définie sur R par g(x)=-4x^3+3x-20
1) déterminerla dérivée g’ de la fonction g et dresser le tableau de variation de g.

pour tout x de IR, g’(x)= -12x²+3 = -3(4x²-1) = -3(2x-1)(2x+1)

Le tableau de variations de g est alors le suivant :

x-oo-1/21/2+oo
g’(x)-0+0-
g(x)+oodécroissante-21croissante-19décroissante-oo

2)démontrer que l’équation g(x)=0 a une solution unique notée a et donner un encadrement de a d’amplitude 0.01

Le tableau de variations de g nous indique que g est décroissante puis est négatif pour x>-1/2

g décrit alors une bijection de [-oo,-1/2[ vers [-21,+oo[. Il y a donc une et une seule solution à g(a)=0, avec a<-1/2

Je vous laisse cherche l’encadrement (procéder par dichotomie : calculer g(-2)>0,puis g(1), etc.)

3) en déduire le signe de la fonction g sur R

g est positive sur ]-oo,a] puis négative

B:étude de la fonction f:
1)déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (c’est-à-dire en -00, en +00, en-1/2 et en 1/2)

en +oo, limf = lim(2x^3/-4x²) = lim(-1/2x)=-oo

en -oo, limf = lim(2x^3/-4x²) = lim(-1/2x)= +oo

en -1/2, lim(2x^3-5)=-21/4<0 et lim(1-4x²)=0 avec 1-4x²>0 si x<-1/2, 1-4x²<0 si x>-1/2

Ainsi, limf(-1/2, x<-1/2) = -oo

limf(-1/2, x>-1/2) = +oo

De même, en 1/2, lim(2x^3-5)=-19/4<0 et lim(1-4x²)=0 avec 1-4x²<0 si x<1/2, 1-4x²>0 si x>1/2

Ainsi, limf(1/2, x<1/2) = +oo

limf(1/2, x>1/2) = -oo

2)déterminer la dérivée de la fonction f et montrer que l’on a: f’(x)=g(x)*h(x) pour tout x différent de -1/2 etx différent de 1/2 ou h est une fonction à préciser.

Pour tout x de Df, f’(x)=[6x²(1-4x²)-(2x^3-5)(-8x)]/(1-4x²)² = (6x²-8x^4-40x)/(1-4x²)² = 2xg(x)/(1-4x²)²

Il suffit de poser h(x)=2x/(1-4x²)²

3)déduire alors de la question A)3) le signe de f’ sur R{-1/2,1/2}

h est positif sur IR+,négatif sur IR-

Donc f’ est négatif sur ]-oo,a], positive sur [a,0], négative sur IR+

4)dresser le tableau de variation de la fonction f

x-ooa-1/201/2+oo
f’(x)-0++0--
f(x)+oodécroissantef(a)croissante+oo / -oocroissantef(0)décroissante-oo/+oodécroissante-oo

5)montrer qu’il existe 3 réels a,b et c tels que l’on ait pour tout x différent de -1 et x différent de 1 f(x)=ax+ bx+c/1-4x².

On a f(x)=(2x^3-5)/(1-4x²) =(-1/2x(1-4x²)+1/2x-5)/(1-4x²) = -x/2 + (x/2-5)/(1-4x²)

On a alors a=-1/2; b=1/2; c=-5

 

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