Introduction

Taille de l’univers (ordre de grandeur) :10 000 000 000 000 000 000 000 000 m

Taille du noyau atomique (ordre de grandeur) : 0,000 000 000 000 001  m

Peu pratique non ? Lorsque les nombres sont de l'ordre de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit il devient long et difficile d'afficher le nombre de zéro correspondant. Même lorsque vous voulez afficher un très grand chiffre sur votre calculatrice, vous remarquerez que passé une certaine valeur, il n'est plus possible d'afficher ces chiffres.

Les puissances vont ainsi permettre deux choses :

  • 1. La première qui semble évidente lorsque l'on voit les valeurs est de simplifier l'écriture des très grands et très petits nombres. Ils deviennent alors bien plus lisibles et peuvent être écrit sur n'importe quel support
  • 2. La deuxième est de pouvoir comparer et en juste un coup d'oeil la différence d'ordre de grandeur entre les nombres. Entre 10 et 100, il est facile de voir que 100 est bien plus grand que 10 car il a un zéro de plus. Cependant, lorsque le nombre de zéros devient trop important, il devient bien plus difficile de pouvoir lire convenablement ce qui va faire la différence. La représentation sous forme de puissance de 10 permettra ainsi de pallier ce problème.

Le principe de base des puissances de 10 repose sur le concept défini ci-après :

Soit n un entier positif, on note  10^{n} = 10 x ... x 10 (n facteurs) ....n = 100...0 (n zéros) 10^{-n} = 0,0...01 (n zéros)

Soit n et p des entiers 10^{n} x 10^{p} = 10^{n+p} et (10^{n})^{p} = 10^{n x p}

Nous expliciterons plus en détails après cette introduction comment maitriser et manipuler les puissances de 10.

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Définition et vocabulaire

Définition :

Soit n  un nombre entier positif : 10^{n} = 10 * 10 * 10 * ... * 10 (n fois) et 10^{0} = 1.

Soit n un nombre entier positif. On définit le nombre 10^{-n} de la façon suivante : 10^{-n} = \frac{1}{10^{n}}

Exemples :

10^{3} = 10 * 10 * 10

10^{4} = 10 * 10 * 10 * 10

10^{-3} = \frac{1}{10^{3}} = \frac{1}{10 * 10 * 10} = \frac{1}{1000} = 0.001

Cas pratique : Écrire la taille de l’univers sous la forme d’une puissance de 10 . La taille de l'univers est donné en introduction.

Cas particuliers :

Si n = 2, on dit que 10^{2}  est le  « carré » de 10, se lit « dix au carré » .

Si n = 3, on dit que 10^{3}  est le  « cube » de 10, se lit « dix au cube ».

Au delà, on dit simplement "dix puissance n" avec n étant la valeur de l'exposant.

Remarque  : L’exposant est toujours prioritaire sur les autres opérations : 2 + 10^{2} = 2 + 10*10 = 2 + 100 = 102

Règles de calcul sur les puissances de 10

1. Propriété n° 1 : produit de puissances.

Soient a et b  deux entiers relatifs. Le produit de la puissance de a par b est égal à : 10^{a} * 10^{b} = 10^{a+b}

Exemple :

10^{5} * 10^{3} = 10^{5+3} =10^{8}

10^{-7} * 10^{5} = 10^{-7+5} =10^{-2}

10^{6} * 10^{-4} = 10^{6-4} =10^{2}

2.Propriété n° 2 : puissance de puissance.

Soient a et b  deux entiers relatifs : (10^{a})^{b} = 10^{a*b}

Exemple :

(10^{5})^{3} = 10^{5*3} = 10^{15}

(10^{-7})^{5} = 10^{-7*5} = 10^{-35}

(10^{6})^{-4} = 10^{6*(-4)} = 10^{-24}

3.Propriété n° 3 : quotient de puissances.

Soient a et b  deux entiers relatifs : \frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b}

Exemple :

\frac{10^{5}}{10^{3}} = 10^{5-3} = 10^{2}

\frac{10^{-7}}{10^{5}} = 10^{-7-5} = 10^{-12}

\frac{10^{6}}{10^{-4}} = 10^{6-(-4)} = 10^{10}

 

Écriture scientifique

Propriété : Un nombre décimal admet plusieurs écritures sous la forme de produit d’un décimal par une puissance de 10

Exemple : 32441,25 = 32,34125*10^{3} = 0,003244125*10^{7} = 3244125*10^{-2}

Définition : Écrire un nombre sous forme scientifique, c’est l’écrire sous la forme : a*10^{n} avec 1 < a < 10

Exemples d’écritures scientifiques :  

32441,25 = 3,244125*10^{4} avec 1 < 3,244125 < 10

0,0056 = 5,6*10^{-3} avec 1 < 5,6 < 10

L'ensemble de la communauté scientifique doit souvent écrire de très grands ou de très petits nombres. Ils ont alors recours à une notation particulière appelée notation scientifique. Les nombres sont écrits, en notation scientifique, sous la forme générale : a × 10n avec 1 ≤ a < 10 (ou -10 < a ≤ -1) et n est un nombre entier relatif. Cette écriture permettra ainsi d'accorder l'ensemble de la communauté scientifique sur une même notation pour pouvoir plus facilement travailler ensemble.

Quelques exemples:
405 000 000 = 4,05 × 10^{8}
154 000 = 1,54 × 10^{5}
0,0067 = 6,7 × 10^{- 3}
0,000 007 43 = 7,43 × 10^{- 6}

Exemples :
•  3,758*10^{4} est une écriture scientifique
•  0,03758*10^{4} n'est pas une écriture scientifique car le chiffre devant la virgule est 0. Ce chiffre n'est donc pas compris entre 1 et 10.

Cas pratique : Donner l'écriture scientifique de 253*10^{8} :

Comme 253 = 2,53*10^{2} alors 253*10^{8} = 2,53*10^{2}*10^{8} = 2,53*10^{10}

2,53*10^{10} est l'écriture scientifique cherchée.

Intérêt: La notation scientifique des nombres relatifs permet, entre autres, de les comparer. Lorsque les deux nombres sont sous forme d’écritures scientifiques, on compare d’abord les exposants respectifs :

  • S’ils sont différents, les nombres sont classés dans le même ordre que les exposants
  • S’ils sont égaux, les nombres sont classés suivant le nombre devant la puissance de 10

Exemples : Comparer  2458*10^{9} et 3,48*10^{12}

  • 3,48*10^{12} est déjà sous forme d’écriture scientifique
  • 2458*10^{9} = 2,458*10^{3}*10^{9} = 2,458*10^{12}

Dans l’exemple, les exposants sont égaux à 12 mais  2,458 < 3,48. Donc 2458*10^{9} < 3,48*10^{12}. Si les exposants avaient été différent, il aurait simplement fallu comparer les valeurs des exposants.

Notation : On note l'ensemble des puissances de 10 comme dans le tableau comme suit :

Puissance de 10PréfixeSymbole
10^24yottaY
10^21zettaZ
10^18exaE
10^15pétaP
10^12téraT
10^9gigaG
10^6mégaM
10^3kiloK
10^2hectoH
10^1décaDa
10^-1déciD
10^-2centiC
10^-3milliM
10^-6microµ
10^-9nanoN
10^-12picoP
10^-15femtoF
10^-18attoA
10^-21zeptoZ
10^-24yoctoY

Exercices

Exercice 1: Il n’est pas rare en Sciences, d’avoir à effectuer des opérations sur des nombres dont l’écriture contient « beaucoup de zéros ».

Exemple : Calculer (1 000 000 )2

En mathématique on préfère écrire ce nombre ..............., ce qui se lit ................................................

Exercice 2 : Exprimer à l’aide d’une puissance de dix :

  • 100 =        1 000 =        un million =           un milliard =        10 =

Exercice 3 : Compléter à l’aide d’une puissance de dix :

1 km = ? m                              1 hg = ? g                             1 m2 = ? mm2

1 km = ?  cm                              1 tonne = ? kg                               1 l = ? cm3

1 dam =? cm        1 m2 = ? cm2 1 m3 = ? l

Exercice 4 : Effectuer sans calculatrice :

345 × 103 =                0,345 × 102 =            0,0345 × 105 =

34,5 × 104 =                  0,04 × 104 =                   4 × 102 =

Exercice 5 : La planète saturne est à un milliard quatre cent vingt huit millions de kilomètres du soleil. Parmi ces écritures, lesquelles donnent cette distance ?

1 428*10^{6} ; 142,8*10^{6} ; 1,428*10^{9} ; 0,1428*10^{10}

Exercice 6 : Compléter : En chimie, le nombre d’atomes contenus dans un gramme d’hydrogène est 602 000 000 000 000 000 000 000, ce chiffre s’écrit 6,02 · 10 ..........

Exercice 7 : En Sciences, on est aussi conduit à travailler avec des nombres dont l’écriture contient « beaucoup de zéros après la virgule ».

Exemple : Calculer (0,00001)2 : ?

En mathématique on préfère écrire ce nombre ............., et le lire ...................................................... .

Exercice 8 : Exprimer à l’aide d’une puissance de dix :

0,000000001 =    ;  0,01 =    ;  un millionième =    ;  0,0001 =

Exercice 9 : Compléter à l’aide d’une puissance de dix :

1 mg = ?  g    1 cm = ?  m   1 ml =? hl     1 cm2 = ?  m 1 cm3 = ?  m3  1 mm3 = ? l

Exercice 10 :  Donner l’écriture décimale des nombres suivants :

10 – 3 = ?      10 – 1 = ?    10 – 6 = ?   14,75 × 10 – 4 = ?    0,747 × 10 – 3 = ?   4 300 × 10 – 3 = ?

 

Corrigés

Exercice 1 :

  • Calculer (1 000 000 )2 = 1 000 000 * 1 000 000 = 1 000 000 000 000
  • En mathématique on préfère écrire ce nombre 10^{12} ce qui se lit "dix puissance 12".

Exercice 2 : Exprimer à l’aide d’une puissance de dix :

  • 100 = 10^{2}
  • 1000 = 10^{3}
  • un million = 1 000 000 = 10^{6}
  •  un milliard = 1 000 000 000 = 10^{9}
  • 10 = 10^{1}

Exercice 3 : Compléter à l’aide d’une puissance de dix :

  • 1 km = 10^{3}m
  • 1 hg = 10^{2}g
  • 1 m^{2}  = 1000 mm^{2} = 10^{3} mm^{2}
  • 1 km = 10^{5} cm
  • 1 tonne = 1 000 kg = 10^{3} kg
  • 1 l = 1000 cm^{3} = 10^{3} cm^{3}
  • 1 dam = 10^{2} cm
  • 1m^{2} = 10^{2} cm
  • 1m^{3} = 1000 l  = 10^{3} l

Exercice 4 : Effectuer sans calculatrice :

  • 345 × 103 = 345 * 1000 = 345 000
  • 0,345 × 102 =0,345 * 100 = 34,5
  • 0,0345 × 105 = 0,0345 * 100 000 = 3450
  • 34,5 × 104 =34,5 * 10 000 = 345 000
  • 0,04 × 104 =0,04 * 10 000 = 400
  • 4 × 102 = 4*100 = 400

Exercice 5 : La planète saturne est à un milliard quatre cent vingt huit millions de kilomètres du soleil.

On va traduire cette distance en kilomètres du soleil avec une puissance de dix :

un milliard quatre cent vingt huit millions de kilomètres = 1 480 000 000 km = 1,48*10^{9} km.

Il s'agit donc de la réponse numéro 3.

Exercice 6: En chimie, le nombre d’atomes contenus dans un gramme d’hydrogène est 602 000 000 000 000 000 000 000, ce chiffre s’écrit 6,02*10^{23}

Exercice 7 : En Sciences, on est aussi conduit à travailler avec des nombres dont l’écriture contient « beaucoup de zéros après la virgule ».

(0,00001)^{2} : 0,00001 * 0,00001 = 1*10^{-10}

En mathématique on préfère écrire ce nombre 1*10^{-10} et le lire une fois dix puissance moins 10.

Exercice 8 : Exprimer à l’aide d’une puissance de dix :

  • 0,000000001 = 1*10^{-9}
  • 0,01 = 1*10^{-2}
  • un millionième = 0, 000 001 = 1*10^{-6}
  • 0,0001 = 1*10^{4}

Exercice 9 : Compléter à l’aide d’une puissance de dix :

  • 1 mg = 0,001 g = 10^{-3} g
  • 1 cm = 0,01 m = 10^{-2} m
  • 1 ml = 0,00001 = 10^{-5} hl
  • 1 cm^{2} = 0,01*0,01 m^{2} = 10^{-4} m^{2}
  • 1 cm^{3} = 0,01 * 0,01 * 0,01 m^{3} = 10^{-6} m^{3}
  • 1 mm^{3} = 10^{-6} l

 

Exercice 10 :  Donner l’écriture décimale des nombres suivants :

  • 10^{-3} = 0,001
  • 10^{-1} = 0,1
  • 10^{-6}  = 0,000001
  • 14,75*10^{-4} = 0.001474
  • 0,747*10^{-3} = 0.000747
  • 4300*10^{-3} = 4,300

 

 

 

 

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