Les puissances

Q: Qu’est-ce qu’une puissance de 10 en mathématiques ?

Une puissance de 10 est un moyen d’écrire des nombres très grands ou très petits de façon compacte. On multiplie dix par lui-même un certain nombre de fois ou on divise par dix pour les exposants négatifs.

Q: Pourquoi utiliser la notation scientifique ?

La notation scientifique simplifie la lecture et le calcul des nombres extrêmes, standardise leur écriture et facilite les comparaisons entre valeurs très grandes ou très petites.

Q: Comment lire une puissance de 10 ?

On lit « dix » suivi de « puissance » et du chiffre de l’exposant. Si l’exposant est négatif, on dit « dix puissance moins … ».

Q: Quelles sont les règles pour calculer avec les puissances de 10 ?

Multiplier : additionner les exposants. Diviser : soustraire les exposants. Élever à une puissance : multiplier les exposants.

Par Clément

Rédigé le 19 octobre 2025

4 minutes de lecture

Chapitres

01. Introduction
02. Définition et vocabulaire
03. Règles de calcul sur les puissances de 10
04. Écriture scientifique
05. Exercices

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Introduction

Taille de l’univers (ordre de grandeur) : 10 000 000 000 000 000 000 000 000 m

Taille du noyau atomique (ordre de grandeur) : 0,000 000 000 000 001 m

Peu pratique, non ? Lorsque les nombres sont de l'ordre de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit il devient long et difficile d'afficher le nombre de zéro correspondant. Même lorsque vous voulez afficher un très grand chiffre sur votre calculatrice, vous remarquerez que passé une certaine valeur, il n'est plus possible d'afficher ces chiffres.

Pour mieux visualiser les ordres de grandeur des nombres très grands et très petits, voici un tableau qui présente leur écriture décimale et leur équivalent en puissance de 10 :

Exemple	Écriture décimale	Écriture en puissance de 10
Taille de l’univers	10 000 000 000 000 000 000 000 000 m	10²⁵ m
Taille d’un noyau atomique	0,000 000 000 000 001 m	10^-15 m
1 million	1 000 000	10⁶
0,001	0,001	10^-3

Les puissances vont ainsi permettre deux choses :

1. La première qui semble évidente lorsque l'on voit les valeurs est de simplifier l'écriture des très grands et très petits nombres. Ils deviennent alors bien plus lisibles et peuvent être écrits sur n'importe quel support
2. La deuxième est de pouvoir comparer en un seul coup d’œil la différence d'ordre de grandeur entre les nombres. Entre 10 et 100, il est facile de voir que 100 est bien plus grand que 10 car il a un zéro de plus. Cependant, lorsque le nombre de zéros devient trop important, il devient bien plus difficile de pouvoir lire convenablement ce qui va faire la différence. La représentation sous forme de puissance de 10 permettra ainsi de pallier ce problème.

En cours de maths, le principe de base des puissances de 10 repose sur le concept défini ci-après :

Soit n un entier positif, on note

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Soit n et p des entiers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Nous expliciterons plus en détails après cette introduction comment maîtriser et manipuler les puissances de 10.

Vue d'une nébuleuse colorée dans l'espace profond. — Une nébuleuse colorée illustrant l'immensité de l'univers.

Définition et vocabulaire

Définition :

Soit n un nombre entier positif : $\text{[math]}$ = 10 * 10 * 10 * ... * 10 (n fois) et $\text{[math]}$ .

Soit n un nombre entier positif. On définit le nombre $\text{[math]}$ de la façon suivante : $\text{[math]}$

Exemples :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Cas pratique : Écrire la taille de l’univers sous la forme d’une puissance de 10 . La taille de l'univers est donné en introduction.

Cas particuliers :

Si n = 2, on dit que $\text{[math]}$ est le « carré » de 10, se lit « dix au carré » .

Si n = 3, on dit que $\text{[math]}$ est le « cube » de 10, se lit « dix au cube ».

Au-delà, on dit simplement "dix puissance n" avec n étant la valeur de l'exposant.

Remarque : L’exposant est toujours prioritaire sur les autres opérations : $\text{[math]}$

Règles de calcul sur les puissances de 10

1. Propriété n° 1 : produit de puissances.

Soient a et b deux entiers relatifs. Le produit de la puissance de a par b est égal à : $\text{[math]}$

Exemple :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

2.Propriété n° 2 : puissance de puissance.

Soient a et b deux entiers relatifs : $\text{[math]}$

Exemple :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

3.Propriété n° 3 : quotient de puissances.

Soient a et b deux entiers relatifs : $\text{[math]}$

Exemple :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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Écriture scientifique

Modèle d'un atome avec électrons autour du noyau. — Représentation d'un atome avec ses électrons orbitant autour du noyau.

Propriété : Un nombre décimal admet plusieurs écritures sous la forme de produit d’un décimal par une puissance de 10

Exemple : $\text{[math]}$

Définition : Écrire un nombre sous forme scientifique, c’est l’écrire sous la forme : $\text{[math]}$ avec 1 < a < 10

Exemples d’écritures scientifiques :

$\text{[math]}$ avec 1 < 3,244125 < 10

$\text{[math]}$ avec 1 < 5,6 < 10

L'ensemble de la communauté scientifique doit souvent écrire de très grands ou de très petits nombres. Ils ont alors recours à une notation particulière appelée notation scientifique. Les nombres sont écrits, en notation scientifique, sous la forme générale : a × 10ⁿavec 1 ≤ a < 10 (ou -10 < a ≤ -1) et n est un nombre entier relatif. Cette écriture permettra ainsi d'accorder l'ensemble de la communauté scientifique sur une même notation pour pouvoir plus facilement travailler ensemble.

Quelques exemples:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Exemples :
• $\text{[math]}$ est une écriture scientifique
• $\text{[math]}$ n'est pas une écriture scientifique car le chiffre devant la virgule est 0. Ce chiffre n'est donc pas compris entre 1 et 10.

Cas pratique : Donner l'écriture scientifique de $\text{[math]}$ :

Comme $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ est l'écriture scientifique cherchée.

Intérêt: La notation scientifique des nombres relatifs permet, entre autres, de les comparer. Lorsque les deux nombres sont sous forme d’écritures scientifiques, on compare d’abord les exposants respectifs :

S’ils sont différents, les nombres sont classés dans le même ordre que les exposants
S’ils sont égaux, les nombres sont classés suivant le nombre devant la puissance de 10

Exemples : Comparer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ est déjà sous forme d’écriture scientifique
$\text{[math]}$

Dans l’exemple, les exposants sont égaux à 12 mais 2,458 < 3,48. Donc $\text{[math]}$ . Si les exposants avaient été différents, il aurait simplement fallu comparer les valeurs des exposants.

Notation : On note l'ensemble des puissances de 10 comme dans le tableau comme suit :

Puissance de 10	Préfixe	Symbole
10^24	yotta	Y
10^21	zetta	Z
10^18	exa	E
10^15	péta	P
10^12	téra	T
10^9	giga	G
10^6	méga	M
10^3	kilo	K
10^2	hecto	H
10^1	déca	Da
10^-1	déci	D
10^-2	centi	C
10^-3	milli	M
10^-6	micro	µ
10^-9	nano	N
10^-12	pico	P
10^-15	femto	F
10^-18	atto	A
10^-21	zepto	Z
10^-24	yocto	Y

Exercices

Maintenant, passons aux choses sérieuses ! Entraînez-vous sur ces exercices sur les puissances :

Score :

Il n’est pas rare en Sciences, d’avoir à effectuer des opérations sur des nombres dont l’écriture contient « beaucoup de zéros ».

Exemple : Calculer (1 000 000 )²

En mathématique on préfère écrire ce nombre ..............., ce qui se lit .....

Solution

Calcul : 1 000 000 × 1 000 000 = 1 000 000 000 000

Écriture en puissance de 10 : 10¹², se lit "dix puissance 12"

Exprimer à l’aide d’une puissance de dix :

100 =
1 000 =
un million =
un milliard =
10 =

Solution

100 = 10²
1 000 = 10³
1 000 000 = 10⁶
1 000 000 000 = 10⁹
10 = 10¹

Compléter à l’aide d’une puissance de dix :

1 km = ? m
1 hg = ? g
1 m² = ? mm²
1 km = ? cm
1 tonne = ? kg
1 l = ? cm³
1 dam = ? cm
1 m² = ? cm²
1 m³ = ? l

Solution

1 km = 10³ m
1 hg = 10² g
1 m² = 10⁶ mm²
1 km = 10⁵ cm
1 tonne = 10³ kg
1 l = 10³ cm³
1 dam = 10² cm
1 m² = 10⁴ cm²
1 m³ = 10³ l

Effectuer sans calculatrice :

345 × 10³ =
0,345 × 10² =
0,0345 × 10⁵ =
34,5 × 10⁴ =
0,04 × 10⁴ =
4 × 10² =

Solution

345 × 10³ = 345 000
0,345 × 10² = 34,5
0,0345 × 10⁵ = 3 450
34,5 × 10⁴ = 345 000
0,04 × 10⁴ = 400
4 × 10² = 400

La planète Saturne est à un milliard quatre cent vingt huit millions de kilomètres du soleil. Parmi ces écritures, lesquelles donnent cette distance ?

1 428 × 10⁶
142,8 × 10⁶
1,428 × 10⁹
0,1428 × 10¹⁰

Solution

1 428 000 000 km = 1,428 × 10⁹ km → réponse correcte : 1,428 × 10⁹

En chimie, le nombre d’atomes contenus dans un gramme d’hydrogène est 602 000 000 000 000 000 000 000. Ce chiffre s’écrit 6,02 · 10 ^..........

Solution

6,02 × 10²³

En Sciences, on est aussi conduit à travailler avec des nombres dont l’écriture contient « beaucoup de zéros après la virgule ».

Exemple : Calculer (0,00001)² : ?

En mathématique on préfère écrire ce nombre ............., et le lire ......................................................

Solution

(0,00001)² = 1 × 10^–10

Lecture : "une fois dix puissance moins dix"

Exprimer à l’aide d’une puissance de dix :

0,000000001 =
0,01 =
un millionième =
0,0001 =

Solution

0,000000001 = 1 × 10^–9
0,01 = 1 × 10^–2
un millionième = 1 × 10^–6
0,0001 = 1 × 10^–4

Compléter à l’aide d’une puissance de dix :

1 mg = ? g
1 cm = ? m
1 ml = ? hl
1 cm² = ? m²
1 cm³ = ? m³
1 mm³ = ? l

Solution

1 mg = 10^–3 g
1 cm = 10^–2 m
1 ml = 10^–5 hl
1 cm² = 10^–4 m²
1 cm³ = 10^–6 m³
1 mm³ = 10^–6 l

Donner l’écriture décimale des nombres suivants :

10^–3 = ?
10^–1 = ?
10^–6 = ?
14,75 × 10^–4 = ?
0,747 × 10^–3 = ?
4 300 × 10^–3 = ?

Solution

10^–3 = 0,001
10^–1 = 0,1
10^–6 = 0,000001
14,75 × 10^–4 = 0,001475
0,747 × 10^–3 = 0,000747
4 300 × 10^–3 = 4,3

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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chocodu54

Septembre 2009

heu salut je suis en 3ème et je n’ai pas compris le sours sur les puissances de 10 alors merci pour le cours que tu as donné ^^