Énoncés

A.

Un balladeur et ses écouteurs coûtent 37,5 €. Le balladeur coûte 0,50 € de plus que les écouteurs. Quel est le prix du balladeur ? Quel est le prix des écouteurs ?

 

B.

Un collège a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, un autre collège achète le même livre 2 € de moins, ce qui lui permet d'en acheter 5 de plus.
Quel est le prix d'un livre acheté par le premier établissement ?

 

C.

Trouver les dimensions d'un rectangle sachant que la longueur est le triple de la largeur et que le périmètre est 168 m.

 

D.

Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 2006.

Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 2007.

 

E.

Trois émissions se partagent les 180 minutes d'un DVD de la façon suivante : la première émission dure 13 minutes de moins que la seconde, qui dure elle même 23 minutes de plus que la troisième. Trouver la durée de chaque émission.

 

F.

Dans une entreprise comprenant 11 ouvriers, 2 contremaîtres et le patron, le total des salaires mensuels atteint 19000 €. Tous les ouvriers ont le même salaire, un contremaître gagne 400 € de plus qu'un ouvrier, et le patron gagne 1000 € de plus qu'un contremaître. Calculer le salaire mensuel d'un ouvrier.

 

H.

Un père a 27 ans de plus que son fils. Dans 6 ans, son âge sera le double de celui du fils. Quel est l'âge du fils ? du père ?

 

I.

Trouver la valeur de x pour que le périmètre du triangle équilatéral soit le même que celui du rectangle, sachant que le côté du triangle mesure 7 et la largeur du rectangle est x.

 

J.

À ce jour, l'âge du capitaine est le double de celui de Fred. Dans 5 ans, ils auront à eux deux 70 ans. Quel est l'âge du capitaine ?
a ) Soit x l'âge de Fred. Exprimer en fonction de x :
- l'âge actuel du capitaine
- l'âge du capitaine dans 5 ans
- l'âge de Fred dans 5 ans.
b ) Écrire une équation permettant de résoudre ce problème.

 

K.

Un troupeau est composé de chameaux et de dromadaires. On compte 180 têtes et 304 bosses. Sachant qu'un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d'animaux de chaque espèce ?

 

L.

Dans un triangle rectangle, un angle aigu est le triple de l'autre angle aigu. Déterminer la mesure en degrés, du plus petit angle.

 

M.

La somme de quatre nombres pairs consécutifs est 196. Quels sont ces quatre nombres ?

 

N.

Voici la règle d'un jeu :
Quand on gagne, on reçoit 3 euros. Quand on perd, on donne 1,2 euros.
Amélie a joué 25 fois à ce jeu et elle a perdu 0,6 euros au total. Combien de fois a-t-elle gagné ?

 

O.

A la cafétéria, cinq élèves ont commandé un soda, un jus d'orange et trois chocolats.
Les cinq  consommations reviennent à 4,30 €.
Un soda coûte 0,30 € de plus qu'un chocolat.
Un jus d'orange coûte 0,50 € de plus qu'un chocolat.
Calculer le prix d'un chocolat, puis d'un soda et d'un jus d'orange.

 

P.

RECT est un rectangle. RE = 14, EC = 8.

Comment choisir x pour que l'aire du parallélogramme soit égale à  l'aire restante ?

 

Q.

ABCD est un rectangle.
Soit E un point de [ CD ] tel que DE = x et EC = 4.
De plus BC = 3 et  BE = 5.

Calculer x pour que le périmètre du trapèze ABED soit le double de celui du triangle BCE.

Corrigés

A.

Un balladeur et ses écouteurs coûtent 37,5 €. Le balladeur coûte 0,50 € de plus que les écouteurs. Quel est le prix du balladeur ?
Quel est le prix des écouteurs ?

Soit p le prix des écouteurs.
le balladeur coûte p + 0,5.
le balladeur et les écouteurs coûtent ensemble p + ( p +0,5 ) = 2p+0,5
donc 2p+0,5 = 37,5
donc 2p = 37
donc p = 18,5.

Le balladeur coûte 19 € et les écouteurs 18,5 € ( penser à vérifier)

B.

Un collège a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, un autre collège achète le même livre 2 € de moins, ce qui lui permet d'en acheter 5 de plus.
Quel est le prix d'un livre acheté par le premier établissement ?

Soit p le prix d'un livre acheté par le premier établissement.
En tout les livres lui coûtent 25p.
Le deuxième collège paie chaque livre p-2 et en achète( 25+5 =) 30.
Le deuxième collège paie en tout 30(p-2).
Les deux collèges paient la même somme, donc 25p = 30(p-2)
25p = 30p - 60
5p = 60
p =12
Le prix du livre acheté par le premier collège est 12 €.

C.

Trouver les dimensions d'un rectangle sachant que la longueur est le triple de la largeur et que le périmètre est 168 m.

Soit xla largeur du rectangle.
La longueur du rectangle est 3x.
Le périmètre est 3x+x+3x+x = 8x
donc 8x = 168, donc x = 21 et 3x = 63

La longueur du rectangle est 63 m et sa largeur 21 m. ( penser à vérifier)

D.

Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 2006.

Soit n le premier nombre. Le deuxième est n+1 et le troisième n+2 .
La somme des trois nombres est n+(n+1)+(n+2) = 3n+3. Elle est égale à 2006.
Donc 3n+3 = 2006 donc 3n = 2003.
2003 n'est pas un multiple de 3, Il n'y a pas de solution.

Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 2007.

Le raisonnement est le même.
Donc 3n+3 = 2007 donc 3n = 2004 et n = 668
les trois nombres sont 668, 669 et 670. ( penser à vérifier)

E.

Trois émissions se partagent les 180 minutes d'un DVD de la façon suivante : la première émission dure 13 minutes de moins que la seconde, qui dure elle même 23 minutes de plus que la troisième. Trouver la durée de chaque émission.

Soit d la durée de l'émission la plus courte ( la troisième)
La deuxième émission dure d+23 et la première d+23-13.
La durée totale est d+(d+23)+(d+23-13)=3d+33.
Donc 3d+33 = 180
3d = 147 donc d = 49.

La troisième émission dure 49 min, la deuxième 72 min et la première 59 min. ( penser à vérifier)

F.

Dans une entreprise comprenant 11 ouvriers, 2 contremaîtres et le patron, le total des salaires mensuels atteint 19000 €. Tous les ouvriers ont le même salaire, un contremaître gagne 400 € de plus qu'un ouvrier, et le patron gagne 1000 € de plus qu'un contremaître. Calculer le salaire mensuel d'un ouvrier.

Soit s le salaire d'un ouvrier. Le salaire du contremaître est s+400 et le salaire du patron est (s+400)+1000.
Le total des salaires mensuels exprimé en fonction du salaire d'un ouvrier est :
11s+2(s+400)+s+1400=11s+2s+800+s+1400
=14s+ 2200
Donc 14s+ 2200=19000, donc 14s = 16800, donc s = 1200.
Dans cette entreprise, un ouvrier gagne 1200 €, un contremaître 1600 € et le patron 2600 €. ( penser à vérifier)

H.

Un père a 27 ans de plus que son fils. Dans 6 ans, son âge sera le double de celui du fils. Quel est l'âge du fils ? du père ?

 

filspère
âge actuelaa+27
âge dans 6 ansa+6(a+27)+6=a+33

Dans 6 ans, l'âge du père sera le double de celui du fils, donc :

Le fils a 21 ans et son père 48 ans. ( penser à vérifier)

 

I.

Trouver la valeur de x pour que le périmètre du triangle équilatéral soit le même que celui du rectangle, sachant que le côté du triangle mesure 7 et la largeur du rectangle est x.

Le périmètre du triangle est 21.
Le périmètre du rectangle est 14+2x
Les deux périmètres sont égaux, donc 14+2x=21
2x =21-14
2x=7
x=3,5
( on aurait pu dire que la longueur du côté du triangle est égale à deux fois la largeur du rectangle!)

 

J.

À ce jour, l'âge du capitaine est le double de celui de Fred. Dans 5 ans, ils auront à eux deux 70 ans. Quel est l'âge du capitaine ?
a ) Soit x l'âge de Fred. Exprimer en fonction de x :
- l'âge actuel du capitaine : 2x
- l'âge du capitaine das 5 ans : n2x+5
- l'âge de Fred dans 5 ans : x+5

b ) Écrire une équation permettant de résoudre ce problème.

2x + 5 + x + 5 = 70
3x + 10 = 70
3x = 60
x = 20
Fred a 20 ans. Le capitaine a 40 ans. ( penser à vérifier)

 

K.

Un troupeau est composé de chameaux et de dromadaires. On compte 180 têtes et 304 bosses. Sachant qu'un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d'animaux de chaque espèce ?

Soit c le nombre de chameaux.
Il y a 180 animaux en tout , donc il y a (180 - c) dromadaires.
J'exprime le nombre de bosses en fonction du nombre de chameaux:
(180 -c) + 2c
Donc (180 -c) + 2c = 304
180 +c = 304
c = 304 - 180
c =124
IL y a 124 chameaux et 56 dromadaires. ( penser à vérifier)

 

L.

Dans un triangle rectangle, un angle aigu est le triple de l'autre angle aigu. Déterminer la mesure en degrés, du plus petit angle.

Soit a la mesure du plus petit des deux angles aigus. L'autre mesure 3a.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires. Donc a + 3a = 90
4a = 90 donc a = 22,5
Le petit angle mesure 22,5°.

M.

La somme de quatre nombres pairs consécutifs est 196. Quels sont ces quatre nombres ?

Un nombre pair est un multiple de 2. Soit 2n le plus petit de ces nombres. Le suivant est 2n+2, le suivant 2n+4 et le dernier 2n+6
La somme de ces nombres, exprimée en fonction du plus petit, est donc : 2n+(2n+2)+(2n+4)+(2n+6) = 8n+12
8n+12=196
8n = 184
2n = 46.
Les quatre nombres sont: 46,48,50 et 52. ( penser à vérifier)

 

N.

Voici la règle d'un jeu :
Quand on gagne, on reçoit 3 euros. Quand on perd, on donne 1,2 euros.
Amélie a joué 25 fois à ce jeu et elle a perdu 0,6 euros au total. Combien de fois a-t-elle gagné ?

Soit x le nombre de fois où Amélie a gagné. En tout, elle a gagné 3x euros.
Elle a joué 25 fois et gagné x fois, donc elle a perdu 25 -x fois.
Elle a perdu en tout 1,2(25 -x) euros.
En tout, elle a 3x - 1,2(25 -x) euros, et cela lui donne une perte de 0,6 euros, donc -0,6 euros.
Il faut donc résoudre l'équation :

3x - 1,2(25 -x) = -0,6
3x - 30 + 1,2x = - 0,6
4,2x =-0,6 + 30
4,2x = 29,4
donc x = 29,4 : 4,2
x = 7.
Amélie a gagné 7 fois ( et perdu 18 fois ! )

 

O.

A la cafétéria, cinq élèves ont commandé un soda, un jus d'orange et trois chocolats.
Les cinq  consommations reviennent à 4,30 €.
Un soda coûte 0,30 € de plus qu'un chocolat.
Un jus d'orange coûte 0,50 € de plus qu'un chocolat.
Calculer le prix d'un chocolat, puis d'un soda et d'un jus d'orange.

Soit p le prix de la consommation la moins chère, donc du chocolat.
En fonction de p, le prix d'un soda est p+ 0,3 et le prix du jus d'orange p+0,5.
Le prix total est alors (p+ 0,3)+(p+0,5)+3p = 5p+0,8
Donc 5p+0,8 = 4,3
5p = 3,5
p=0,7
Un chocolat coûte 70 centimes, un soda 1 € et un jus d'orange 1,20 €

P.

RECT est un rectangle. RE = 14, EC = 8.
Comment choisir x pour que l'aire du parallélogramme soit égale à  l'aire restante ?

On calcule l'aire du parallélogramme en enlevant l'aire des deux triangles à l'aire du rectangle.
le deuxième côté du triangle mesure 14-x
Aire d'un triangle: (14-x)8:2
Aire des deux triangles( aire restante ): (14-x)8
Aire du rectangle : 112
Aire du parallélogramme : 112 - 8(14-x)
Donc 8(14-x) = 112 - 8(14-x)
16 ( 14-x)=112
en divisant les deux membres par 16, on obtient 14-x = 7 , donc x =7. Ce que l'on pouvait voir dès le départ. Mais on prouve ainsi que c'est la seule solution...

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Olivier

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