Objectif

Ranger, encadrer ou intercaler des nombres

Afin de donner une valeur approchée de certains nombres décimaux, il est parfois intéressant de les encadrer avec précision :

  • Comment encadre-t-on un nombre décimal ?
  • Quelles sont les différentes manières d'en donner une valeur approchée ?

Ranger une liste de nombres dans :

  • L'ordre croissant signifie les écrire du plus petit au plus grand, en les séparant par le symbole « < ».
  • L'ordre décroissant signifie le contraire. On utilise alors le symbole « > ».

Remarque : On peut considérer qu'un nombre est très inférieur à un autre nombre ou très supérieur à un autre nombre. Dans ce cas, on utilisera les symboles :

  • "<<" pour dire très inférieur à un nombre
  • ">>" pour dire très supérieur à un nombre

Donner un encadrement d'un nombre revient à trouver deux autres nombres : l'un inférieur au nombre de départ et l'autre supérieur. La soustraction de ces deux nombres donne l'amplitude.

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Méthode

Valeurs d'encadrements

Encadrer un nombre, c’est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre.

Exemple 1 : Un encadrement de 14,254 par deux entiers est :

4 < 14,254 < 17.
On dit que 14,254 est encadré par 4 et 17. Il existe une infinité d’encadrements de 14,254 par deux entiers. Tant qu'il existe un nombre inférieur à 14,254 et un nombre supérieur à 14.254, on peut donner cet encadrement. Par exemple, 10<14,254<42 est un autre encadrement de ce même nombre décimal.

Exemple 2 : Donner un nombre compris entre 12,87 et 12,88.

Un nombre compris entre 12,87 et 12,88 est 12,876. En effet, on peut écrire :
12,87 < 12,876 < 12,88.
On a donc trouvé un nombre encadré par 12,87 et 12,88.

On peut encadrer un nombre avec une certaine précision. Soit ab et c trois nombres tels que a < b < c.
• Si c − a = 1, on dit que l’encadrement est à l'unité près.
Exemple :
14 < 14,254 < 15. C’est un encadrement à l’unité près car 15 − 14 = 1.

• Si − 0,1, on dit que l’encadrement est au dixième près.
Exemple :
14,2 < 14,254 < 14,3. C’est un encadrement au dixième près car 14,3 − 14,2 = 0,1.
De la même manière on peut déterminer des encadrements au centième, au millième…

 

Valeurs approchées

Donner la valeur approchée d'un nombre avec une certaine précision revient à chercher un nombre « assez proche» du nombre de départ sans être exactement ce nombre la. On note généralement une valeur approchée avec le symbole . On dit par exemple que 15,00001 ≈ 15.

 Valeur approchée par excès ou par défaut

D'après les encadrements à l'unité, au dixième…, on peut donner des valeurs approchées par excès ou par défaut.

Exemple
• 14 < 14,2546 < 15. De cet encadrement de 14,2546, on peut donner des valeurs approchées à l’unité près :
14 est la valeur approchée par défaut de 14,2546 à l’unité près. 15 est la valeur approchée par excès de 14,2546 à l’unité près.
• 14,2 < 14,2546 < 14,3. De cet encadrement de 14,2546, on peut donner des valeurs approchées au dixième près :
14,2 est la valeur approchée par défaut de 14,2546 au dixième près. 14,3 est la valeur approchée par excès de 14,2546 au dixième près.

De la même manière, on peut déterminer des valeurs approchées par excès ou par défaut au centième, au millième…

Troncature

La troncature d'un nombre à l'unité (au dixième, au centième) est le nombre obtenu après avoir supprimé tous les chiffres après les unités (les dixièmes, les centièmes…).

Remarque : La troncature d'un nombre décimal en est une valeur approchée.

Exemple : La troncature à l'unité de 14,2546 est 14 et la troncature au dixième de 14,2546 est 14,2.

Arrondi d'un nombre

L'arrondi d'un nombre au dixième est le nombre décimal à un chiffre le plus proche de ce nombre.

Remarque : L'arrondi d'un nombre en est une valeur approchée.

Exemple : L’arrondi à l'unité de 14,2546 est 14 car 14,2546 est plus proche de 14 que de 15. L’arrondi au dixième de 14,2546 est 14,3 car 14,2546 est plus proche de 14,3 que de 14,2.

Méthode pour arrondir au dixième

  • On regarde le chiffre des centièmes.
  • Si ce chiffre est 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4, on prend la valeur approchée au dixième par défaut.
  • Si ce chiffre est 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9, on prend la valeur approchée au dixième par excès

On peut appliquer cette méthode pour un arrondi à l'unité, au centième…

Valeur exacte et valeur approchée

Exemple :
Pour donner un ordre de grandeur à ce nombre, on prend une valeur approchée. Par exemple 0,33 est une valeur approchée de cette fraction.
La valeur exacte de ce nombre est son écriture sous forme de fraction : 1/3.

Exercice

Exercice 1:

Traduire par un encadrement d'amplitude la plus petite possible chaque information.
a) 1.45 est la troncature au centième d'un nombre x.
B) 3.154 est la troncature au millième d'un nombre y .

Exercice 2:

  1. a) Encadrer 5,59 entre deux entiers consécutifs
  2. b) Encadrer 12,873 entre deux décimaux d'ordre un consécutifs
  3. c) Encadrer 7,654 entre deux décimaux d'ordre deux consécutifs

Exercice 3:

  1. a) Donner la troncature à l'unité de 5,879
  2. b) Donner la troncature à l'unité de 12,18
  3. c) Donner la troncature au dixième de 23,94
  4. d) Donner la troncature au dixième de 17,869
  5. e) Donner la troncature au centième de 6,851
  6. f) Donner la troncature au centième de 0,4787

Exercice 4:

  1. a) Donner l'arrondi à l'unité de 4,29
  2. b) Donner l'arrondi à l'unité de 11,527
  3. c) Donner l'arrondi au dixième de 14,617
  4. d) Donner l'arrondi au dixième de 9,192
  5. e) Donner l'arrondi au centième de 17,560 2
  6. f) Donner l'arrondi au centième de 35,028

Exercice 5:

Le Mont-Blanc a une altitude de 4 807 m. Donner un ordre de grandeur de cette altitude :

  1. a) En arrondissant à la dizaine la plus proche
  2. b) En arrondissant à la centaine la plus proche

Corrigés

Exercice 1:

Traduire par un encadrement d'amplitude la plus petite possible chaque information.
a) 1.45 est la troncature au centième du nombre encadré par : 1.44 < 1.45 < 1.46
b) 3.154 est la troncature au millième d'un nombre encadré par : 3.153 < 3.154 < 3.155

Exercice 2:

  1. a) Encadrer 5,59 entre deux entiers consécutifs: 5 < 5,59 < 6
  1. b) Encadrer 12,873 entre deux décimaux d'ordre un consécutifs: 12,8 < 12,873 < 12,9
  1. c) Encadrer 7,654 entre deux décimaux d'ordre deux consécutifs: 7,65 < 7,654 < 7,66

Exercice 3:

  1. a) Donner la troncature à l'unité de 5,879: 5
  2. b) Donner la troncature à l'unité de 12,18: 12
  3. c) Donner la troncature au dixième de 23,94: 23,9
  4. d) Donner la troncature au dixième de 17,869: 17,8
  5. e) Donner la troncature au centième de 6,851: 6,85
  6. f) Donner la troncature au centième de 0,4787: 0,47

 

Exercice 4:

  1. a) Donner l'arrondi à l'unité de 4,29: 4
  2. b) Donner l'arrondi à l'unité de 11,527: 12
  3. c) Donner l'arrondi au dixième de 14,617: 14,6
  4. d) Donner l'arrondi au dixième de 9,192: 9,2
  5. e) Donner l'arrondi au centième de 17,5602: 17,56
  6. f) Donner l'arrondi au centième de 35,028: 35,03

Exercice 5:

Le Mont-Blanc a une altitude de 4807 m. Donner un ordre de grandeur de cette altitude:

  1. a) En arrondissant à la dizaine la plus proche: 4810 m
  2. b) En arrondissant à la centaine la plus proche: 4800 m

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