Qu'est ce que la trigonométrie ?

Introduction

Le triangle ? Rien de plus simple ! On sait parfaitement l'étudier : ses angles, ses côtés, son centre de gravité, ses bissectrices, ses médiatrices... Mais cela est il si simple ? Regardons dans cet article la trigonométrie dans un triangle rectangle.

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Définition

Pour étudier et comprendre la trigonométrie dans un triangle rectangle, on va s'intéresser aux fonctions sinus, cosinus et tangente.

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui lie la longueurs des côtés et la mesure des angles dans un triangle. En classe de troisième, on se placera plus particulièrement dans le cas du triangle rectangle, triangle qui possède un angle droit. La trigonométrie à de nombreuses applications dans le domaine de la physique comme en astronomie mais aussi en navigation. Dans un triangle rectangle, on appelle l'hypoténuse le côté le plus grand. Il fait face à l'angle droit.

Voici le schéma d'un triangle rectangle. On observe clairement l'angle droit et l'hypoténuse.

On appelle le côté adjacent à un angle, le côté qui touche l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse. Enfin, on appelle le côté opposé à un angle le côté qui ne touche pas l'angle, le côté qui fait face à l'angle. On utilise trois fonctions trigonométriques pour déterminer les angles ou les longueurs dans un triangle : le cosinus, noté cos, le sinus, noté sin et la tangente, noté tan. Dans un triangle rectangle, on définit le cosinus d'un angle comme le rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle par la longueur de l'hypoténuse. On note [cos =frac{adjacent}{hypotenuse}] Dans notre schéma, cela donne [cos (widehat{ABC})=frac{AB}{BC}] De même, on définit le sinus d'un angle comme le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle par la longueur de l'hypoténuse. Autrement dit, on note [sinus=frac{oppose}{hypotenuse}] Dans notre schéma, cela donne [sinus (widehat{ABC})=frac{AC}{BC}] Enfin, on définit la fonction tangente d'un angle comme le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle par la longueur du côté adjacent à l'angle. On note [tan=frac{oppose}{adjacent}] Dans notre schéma, on obtient [sinus (widehat{ABC})=frac{AC}{AB}] On retiendra la petite astuce mnémotechnique : SOHCAHTOA. Elle permet de retenir les trois formules : sinus = opposé / hypoténuse, cosinus = adjacent / hypoténuse et tangente = opposé / adjacent. Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle n'ont pas d'unité. Regardons quelques valeurs remarquables qu'il peut être utile de connaître :

	0°	30°	45°	60°	90°
valeur du sinus	0	1/2	√2/2	√3/2	1
valeur du cosinus	1	√3/2	√2/2	1/2	0

Propriétés

Regardons les multiples propriétés de nos fonctions trigonométriques.

Le cosinus et le sinus d'un angle sont toujours compris entre -1 et 1. En particulier, dans notre triangle rectangle, comme les angles non droits sont aigus, leurs cosinus et leurs sinus sont compris entre 0 et 1. On a, grâce au théorème de Pythagore, l'identité suivante : [(cos x)^2+(sin x)^2=1] On l'écrit plus couramment [cos^2x+sin^2x=1] De plus, ses trois fonctions trigonométriques sont en faite liées par la formule suivante [tan x=frac{sin x}{cos x}] Chacune de ses fonctions trigonométriques possèdent une fonction réciproque. La fonction réciproque de la fonction cosinus est la fonction arc cosinus, notée arccos. Elle permet de déterminé la valeur de l'angle lorsque l'on connait le cosinus de cet angle. Les fonctions réciproques de sinus et tangente, respectivement arc sinus, noté arcsin, et arc tangente, noté arctan, ont le même intérêt : déterminer la valeur de l'angle en connaissant le sinus ou la tangente de cet angle.

Exercices

• Exercice 1

Soit un triangle IJK rectangle en I. On sait que JK mesure 7 centimètres et que [widehat{IJK} = 38 ° ] On veut calculer la longueur du côté IJ.

Traçons la figure en vraie grandeur en reportant les valeurs connues. Cela nous permet de visualiser l'exercice que l'on nous demande.

Dans ce triangle rectangle en I, d'après le cours vu ci dessus, on a [cos widehat{IJK} = frac{IJ}{JK}] En remplaçant par les valeurs, on a [cos 38° = frac{IJ}{7}] Par un produit en croix, on a finalement que [IJ = 7 times cos 38°] (valeur exacte) soit environ 5,5 cm.

• Exercice 2

Soit EFG un triangle rectangle en F. On admet que EF = 4 cm et que l'angle [widehat{FEG}] mesure 56 degrés. On chercher à calculer la longueur FG. Le triangle EFG étant rectangle, on peut appliquer les fonctions trigonométriques que l'on connait. Ici, on utilise les fonctions trigonométriques puisque l'on connait la longueur d'un côté et un angle. On a [cos widehat{FEG} = frac{EF}{EG}] on a aussi [sin widehat{FEG} = frac{FG}{EG}] ou encore [tan widehat{FEG} = frac{FG}{EF}] Ici, c'est la fonction tangente que nous allons devoir utiliser. Remplaçons par les valeurs que nous avons : [tan 56° = frac{FG}{4}] Par un produit en croix, on obtient [FG =tan 56° times 4] Finalement, cela implique que FG est environ égal à 5,9 cm.

• Exercice 3

Soit un triangle RST rectangle en R. On sait que RT mesure 3 cm et ST mesure 9 cm. On souhaite déterminer l'angle [widehat{RST}] En se rapportant à nos fonctions trigonométriques, on observe que celle à utiliser ici est la fonction sinus. Cela est très clair lorsque l'on dessine un croquis de l'énoncé. La formule nous donne [sin widehat{RST}=frac{RT}{ST}] On obtient donc [sin widehat{RST}=frac{3}{9}=frac{1}{3}] C'est donc dans ce cas que l'on utilise la fonction réciproque à la fonction sinus pour déterminer la valeur de l'angle. En effet, on a [arcsin sin widehat{RST}=arcsin frac{1}{3}] c'est à dire [widehat{RST}=arcsin frac{1}{3}] Il ne reste qu'à taper le calcul à la calculatrice et le tour est joué ! On obtient que l'angle vaut environ 19,5°

Terminons par un exercice de type brevet qui regroupe la géométrie de manière plus générale.

• Exercice 4

Cet exercice est issu du brevet de maths d'Amérique du Nord de juin 2019. On considère la figure ci-dessous, réalisée à main levée et qui n’est pas à l’échelle.

Voici la figure évoquée dans l'énoncé.

On donne les informations suivantes :

• les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A
• AE=8cm, AF=10cm, EF=6cm;
• AR=12cm, AT=14cm

1.Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E. 2.En déduire une mesure de l’angle [widehat{EAF}] au degré près. 3.Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles?   1.AF²=10²=100 et AE²+EF²=8²+6²=64+36=100 Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en E. 2.Le triangle est rectangle donc on peut utiliser les fonctions trigonométriques. Par exemple, [cos widehat{EAF}=frac{EA}{AF}] On obtient alors [cos widehat{EAF}=frac{8}{10}=0,8] Grâce à la calculatrice et la fonction arc cosinus, on a finalement que [widehat{EAF}=37°] 3. Si les droites sont parallèles, le théorème de Thalès nous dit que [frac{AE}{AR}=frac{AF}{AT}] Or [frac{AE}{AR}=frac{8}{12}] et [frac{AF}{AT} =frac{10}{14}] Il n'y a pas égalité. Donc les droites ne sont pas parallèles.   Durant la suite de la trigonométrie, en classe de seconde, nous découvrirons une nouvelle unité de mesure pour les angles, le radian, ainsi qu'une nouvelle application de la trigonométrie que se fera cette fois ci dans un cercle : le cercle trigonométrique.