Introduction

Le développement, c'est quoi ? En mathématiques, comme lors d'une rédaction de français, développer signifie détailler, exposer, étendre un sujet, ou dans notre cas une expression littérale. Regardons les différents développements que l'on rencontre en mathématiques au collège.

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Les parenthèses

Qu'est ce qu'un developpement mathématique ?
Commençons par étudier les développements issus de parenthèses.

Commençons par apprendre à développer les expressions littérales afin de les simplifier, notamment en supprimant des parenthèses.

Le but du développement et de détailler une expression dans le but de pouvoir la simplifier.

Par exemple

    \[3+(x+2)-(2x+4)\]

Comment retire-t-on les parenthèses ?

Lorsque celle-ci est précédée par le signe "+", on peut retirer la parenthèse : elle est inutile.

Lorsqu'elle est précédée par le signe "-", on doit changer tous les signes présents dans la parenthèse pour la supprimer. Lorsque l'on retire la parenthèse, les signes "+" deviennent des "-" et les signes "-" deviennent des "+".

En effet, cela s'explique par le fait que la multiplication de deux nombres négatifs donne un nombre positif.

On obtient alors

    \[3+x+2-2x-4\]

On peut alors simplifier l'expression et obtenir

    \[-x+1\]

Passons à la distributivité, c'est-à-dire développer un produit afin d'obtenir des sommes.

Commençons par la distributivité simple, c'est à dire un terme seul multiplié par une somme entre parenthèses, par exemple

    \[3(2x+1)\]

Pour supprimer la parenthèse, il faut distribué, multiplié le "3" par "2x" ainsi que par "1".

On obtient le calcul suivant

    \[3(2x+1)=3\times 2x+3\times 1\]

On peut finalement simplifier et obtenir

    \[3\times 2x+3\times 1=6x+3\]

\]

De manière générale, on utilisera les formules suivantes

    \[k(a+b)=ka + kb\]

et

    \[k(a-b)=ka-kb\]

Cela revient à dire que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

On dit que l'on a développé l'expression. Lorsqu'on le fait dans le sens contraire,

    \[ka+kb=k(a+b)\]

on dit que l'on a factorisé, c'est à dire exprimé l'expression sous forme d'un produit. Ainsi, k(a+b) est la forme factorisée et ka+kb est la forme développée.

Passons maintenant à la double distributivité, c'est à dire à la multiplication de deux parenthèses contenant chacune une somme.

Par exemple,

    \[A= (2x +3)(4x -2)\]

La double distributivité se traduit par la formule

    \[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]

Ainsi pour notre exemple on a

    \[A=2x\times 4x-2x\times 2+3\times 4x-3\times 2\]

    \[A=8x² -4x +12x -6\]

    \[A= 8x² +8x -6\]

Finalement, la double distributivité signifie appliquer deux fois la distributivité simple.

Récapitulons ces différentes propriétés à travers des exemples :

 Que doit-on utiliser ?Forme développéeForme factorisée
3x-2-(3x+4)supprimer la parenthèse en inversant les signes qu'elle contient3x-2-3x-4
=-6
-6
(x+4)+(3x)On supprime les parenthèses : elles sont inutilesx+4+3x=4x+44(x+1)
3x(4+x-5x)On utilise la distributivité12x +3x²-15x²
=12x-12x²
12x(1-x)
-(2x+5)(2-x)On applique la double distributivité puis on change les signes de la parenthèse obtenue pour la supprimer-(4x-2x²+10-5x)
=-4x+2x²-10+5x
=2x²+x-10
(x-2)(2x+5)

Les identités remarquables

Qu'est ce qu'une identité remarquable ?
Passons aux formules indispensables en mathématiques : les identités remarquables.

Les identités remarquables sont des égalités importantes en mathématiques. Elles sont issues de la double distributivité.

Elles permettent de développer un produit particulier en somme et donc de supprimer les parenthèses. Il y en a trois à connaître :

    \[(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2\]

    \[(a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2\]

    \[(a+b)(a-b) =a^2 -b^2\]

où a et b peuvent être des nombres comme des inconnues.

En réalité, ces identités remarquables sont simplement des doubles distributivités que l'on apprend pour être plus rapide lors de calculs. Regardons la démonstration de la première identité remarquable :

On sait que

    \[(a+b)^2=(a+b)(a+b)\]

En développant grâce à la double distributivité, on obtient

    \[a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2\]

Par exemple,

    \[B=(2x-3)^2\]

On applique la deuxième identité remarquable :

    \[(2x)^2-2\times 2x \times 3+3^2\]

Il ne reste qu'à simplifier :

    \[4x^2-12x+9\]

On peut utiliser les identités remarquables dans l'autre sens pour factoriser une expression littérale.

Récapitulons en regardant différents exemples :

 Quelle identité remarquable a t on ?Forme développée
(x+3)(x-3)La 3èmex²-9
(2x+5)²La 1ère4x²+20x+25
(3-x)²La 2ème9-6x+x²
(2x+1)(2x-1)La 3ème 4x²-1

Dans les identités remarquables que nous apprenons, les parenthèses sont mises au carré. Il existe également d'autres formules lorsque les parenthèses sont élevées à une puissance plus importante, au cube par exemple. Une formule permet de généraliser les identités remarquables à n'importe quelle puissance : c'est le binôme de Newton.

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Définition d'une puissance

Qu'est ce qu'une puissance ?
Finalement, une puissance, qu'est ce que c'est ?

On note x un entier relatif (positif ou négatif). Lorsqu'on le multiplie par lui même n fois (n un entier relatif), c'est à dire que l'on calcule

    \[x\times x\times  ... \times x\]

où "x" apparaît n fois, on note le calcul

    \[x^n\]

On dira alors que

    \[x^n\]

est une puissance de x est que n est l'exposant.

Par convention, tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

    \[x^0=1\]

Par exemple,

    \[2^4\]

signifie

    \[2\times 2\times 2 \times 2\]

et vaut 16.

Les puissances sont donc un moyen d'écrire les multiplications répétées, de la même façon que la multiplication permet d'écrire les additions répétées.

Lorsqu'un nombre négatif est élevé à une puissance, le résultat est :

- positif si la puissance est paire

- négatif si la puissance est impaire

Par exemple,

    \[(-2)^2=4\]

et

    \[(-2)^3=-8\]

Attention à ne pas oublier les parenthèses lorsque l'on met un nombre négatif en puissance !

Terminons par le cas des exposants négatifs. Prenons un exemple.

    \[3^{-2}\]

peut aussi s'écrire

    \[\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\]

De la même façon pour

    \[4^{-3}\]

on peut le développer en

    \[\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\]

Cela revient à écrire

    \[\frac{1}{4^3}\]

Les opérations sur les puissances

Quels calculs faire avec des puissances ?
Passons aux propriétés existantes sur les puissances.

Regardons les différentes opérations que l'on peut effectuer sur les puissances.

Attention, on ne peut pas simplifier les additions de puissances !

Par exemple, on ne peut pas simplifier

    \[3^2+3^4\]

Commençons par les multiplications de puissances. On a la formule

    \[x^n\times x^m=x^{n+m}\]

Regardons comment l'utiliser.

    \[3^2\times 3^5=3^{2+5}=3^7\]

En effet, si l'on détaille, on a

    \[3^2=3\times3\]

et

    \[3^5=3\times 3\times 3\times 3\times 3\]

Ainsi, on obtient bien

    \[3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\]

soit bien

    \[3^7\]

Il en est bien-sûr de même pour les divisions. Pour x non nul, on a la formule

    \[\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}\]

Par exemple,

    \[\frac{10^5}{10^3}=10^{5-3}=10^2\]

On peut également effectuer des puissances de puissances.

En effet, on a la propriété

    \[(x^n)^m=x^{n\times m}\]

Par exemple,

    \[(5^3)^4=5^{3\times 4}=5^{12}\]

On dénote quelques autres propriétés déjà vu au collège :

    \[(ab)^n=a^n \times b^n\]

et

    \[(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Par exemple,

    \[(2x)^2=2^2\times x^2=4x^2\]

Attention car sans la parenthèse, le calcul n'est pas le même ! 2x² est différent de (2x)²=4x²

Un autre exemple est

    \[(\frac{4}{5})^3\]

qui est égal à

    \[\frac{4^3}{5^3}\]

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L'écriture scientifique

Qu'est ce que l'écriture scientifique ?
Terminons notre article par l'écriture scientifique des nombres décimaux.

Lorsqu'un nombre est très grand ou très petit, il est parfois long de l'écrire et difficile de le lire. Par exemple

    \[120 000 000 000\]

ou encore

    \[-0,000002459\]

On utilise alors les puissances de 10 pour écrire plus simplement ces nombres.

En effet, on a appris en 6ème que les multiplications par 10, 100, 1000, 0,1 et 0,01 consiste à ajouter, retirer des 0 ou à décaler la virgule.

On utilise alors l'écriture scientifique qui consiste à réécrire le nombre sous une autre forme. L'écriture scientifique d'un nombre positif est de la forme

    \[a \times 10^n\]

où a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (soit avec exactement un chiffre non nul à gauche de la virgule) et n un entier relatif. Pour un nombre négatif, il en est de même avec le signe "-" qui précède a :

    \[-a\times 10^n\]

Par exemple, 120 000 000 000 va devenir

    \[1,2 \times 10^{11}\]

et 0,000002459 s'écrit

    \[-2,459\times 10^6\]

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