Introduction

La fonction, en mathématique, on en a tous déjà entendu parler. Elle permet d'étudier des statistiques, des systèmes électriques, des mouvements, des variations de populations etc... En faite, les applications sont nombreuses et dans plusieurs domaines. Essayons de comprendre ce qu'est une fonction et comment l'utiliser.

Définition

Qu'est ce qu'une fonction ? Commençons par définir ce qu'est une fonction et étudier les différents types de fonction que l'on étudie en 3ème.

Tout d'abord, c'est quoi une fonction ?

Une fonction est une relation mathématique qui prend une valeur et lui en associe une autre. On note souvent f la fonction et x le nombre de départ. On note f(x) le nombre d'arrivée.

Par exemple, fonction f(x) = 2x + 3 est une fonction qui a tout x associe 2x+3. Si on lui donne 5, elle ressortira

    \[f(5)=2 \times 5+3= 13\]

Si on lui donne (-4) elle lui associera

    \[f(-4)=2\times (-4)+3=-8+3=-5\]

et ainsi pour chaque nombre x dont on souhaite obtenir la valeur f(x).

On appelle x l'antécédent de f(x) par la fonction f. Par exemple, 5 est l'antécédent de 13 par la fonction f. De même, on dit que -4 est l'antécédent de -5 par la fonction f. On appelle f(x) l'image de x par la fonction f. Par exemple, 13 est l'image de 5 par la fonction f et -5 est l'image de -4 par la fonction f. L'image d'un nombre par une fonction est unique, il n'en existe pas d'autres. Par contre l'antécédent n'est pas toujours unique, il peut en exister plusieurs.

Il existe beaucoup de fonctions différentes. En troisième, on ne voit que trois types de fonctions :

  • La fonction constante, par exemple f(x)=5. La fonction constante associe toujours le même nombre à x, quelque soit la valeur de x que l'on choisit. Elle est toujours de la forme

        \[f(x)=c\]

    où c est un nombre.

  • La fonction linéaire, par exemple f(x)=2x. Elle est toujours de la forme

        \[f(x)=ax\]

    où a est un nombre.

  • La fonction affine, par exemple f(x)=2x+3. Elle est toujours de la forme

        \[f(x)=ax+b\]

    où a et b sont des nombres.

Les fonctions constantes et les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines. En effet, la fonction constante correspond à une fonction affine où a=0 et la fonction linéaire correspond à une fonction affine où b=0.

Ces trois sortes de fonction auront toujours un unique antécédent.

Représentation graphique

Pour comprendre une fonction, on peut la représenter dans un repère, c'est à dire tracer sa représentation sur un graphique. Les fonction affines se représentent toutes sous forme d'une droite. Les fonctions linéaires ont la particularité de se représenter par des droites qui passent par l'origine du repère et les fonctions constantes, elles, sont des droites parallèles à l'axe des abscisses, des droites horizontales.

Pour tracer une droite constante, il suffit de connaître un point ou l'équation de la droite.

Pour tracer une droite linéaire, il suffit également de connaître un point (on en a un deuxième puisque la droite passe par le point (0,0) ) ou l'équation de la droite.

Traçons par exemple les droites y=3 (fonction constante) et

    \[y=-\frac{1}{2}x\]

(fonction linéaire).

Pour une fonction linéaire, lorsque l'on a l'équation de la droite, il  a deux possibilités pour tracer la droite. Soit on détermine un point de la droite, par exemple, quand x=-2, on trouve que y=1. On a ainsi deux points qu'il nous suffit de relier pour obtenir la droite. Mais on peut aussi utiliser le coefficient directeur a de la droite.

Comment représenter une fonction ? Voici les deux droites. La droite constante est bien horizontale et la droite linéaire passe par l'origine du repère.

On peut facilement déterminer le coefficient directeur d'une droite graphiquement. En effet, on se place sur un point de la droite et l'on regarde de combien on monte/descend et avance/recule pour arriver à un deuxième point de la droite. Par exemple, pour la droite

    \[y=-\frac{1}{2}x\]

les points C et D appartiennent à la droite. En partant du point C, on descend de 1 et on avance de 2 pour arriver au point D. Donc le coefficient directeur est -1 divisé par 2.

Cas des fonctions affines

On étudiera plus particulièrement les fonctions affines c'est à dire les fonctions de la forme f(x)=ax+b. Graphiquement, la fonction affine se représente par une droite.

Le nombre a qui est devant le x s'appelle le coefficient directeur. Il correspond à la pente de la droite. Le nombre b quant à lui s'appelle l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point qui se situe à l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Dans le cas d'une fonction linéaire, b vaut 0 puisque la droite passe par l'origine du repère.

Si on connait les coordonnées de deux points A et B appartenant à la droite (d), on peut calculer l'équation de cette droite. On détermine dans un premier temps le coefficient directeur avec la formule

    \[a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}\]

aussi notée

    \[\frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a}\]

    \[(x_a,y_a)\]

sont les coordonnées du point A et

    \[(x_b,y_b)\]

les coordonnées du point B.

Lorsque le coefficient directeur est positif, la droite est croissante, et lorsqu'il est négatif la droite est décroissante.

Une fois le coefficient directeur déterminé, il suffit de résoudre l'équation f(x)=ax+b en remplaçant la valeur a et en remplaçant x et y par les coordonnées d'un point, par exemple

    \[A(x_a,y_a)\]

On pourra donc déterminer le b.

Étudions un exemple pour comprendre : soient A(-1,1) et B(0,3) deux points de la droite. Déterminons l'équation de la droite.

    \[a=\frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a}=\frac{3-1}{0+1}=2\]

Donc on a

    \[f(x)=2x+b\]

Déterminer l'ordonnée à l'origine. On résout l'équation avec le point A :

    \[f(-1)=2\times (-1)+b\]

ce qui équivaut à

    \[1=-2+b\]

ainsi on a b=3. En fait, on avait déjà l'ordonnée à l'origine, c'est le point B(0,3) qui est l'intersection de l'axe des ordonnées et de la droite.

Donc

    \[f(x)=2x+3\]

Représentons cette droite sur un graphique :

Qu'est ce qu'une fonction affine ? On a tracer la droite y=2x+3 ainsi que le droite y=-x+1 qui elle est décroissante puisque son coefficient directeur est négatif. Son ordonnée à l'origine est 1.

Exercice

Comment déterminer l'équation d'une droite ? Terminons par un petit exercice d'application pour apprendre à calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une droite.

Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine des droites (AB) où A(-2,1) et B(3,4); (DC) où D(2,0) et C(3,2) ainsi que (EF) où E(4,-2) et F(-3,5).

 

Présentons les valeurs obtenues dans un tableau :

DroitesCoefficient directeurOrdonnée à l'origine
(AB)a=(4-1)/(3+2)=3/51=(3/5)x(-2)+b => b=(11/5)
(DC)a=2/(3-2)=20=2x2+b => b=-4
(EF)a=(5+2)/(-3-4)=-1-2=-1x4+b => b=2

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Elise

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