CONTENUS

  • Géométrie dans l'espace .
  • Sphère
  • Problèmes de sections planes de solides.
  • Calculs d'aires et de volumes.

COMPÉTENCES EXIGIBLES

  • Savoir que la section d'une sphère par un plan est un cercle.
  • Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son
    rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au
    centre de la sphère.
  • Représenter une sphère et certains de ses grands cercles.
  • Connaître la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arrête.
  • Connaître la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.
  • Représenter et déterminer les sections d'un cône de révolution et d'une pyramide par un plan parallèle à la base.
  • Calculer l'aire d'une sphère de rayon donné.

COMMENTAIRES

On mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de
points diamétralement opposés. On examinera le cas particulier où le
plan est tangent à la sphère. On fera le rapprochement avec les
connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment
pour les questions relatives aux méridiens et parallèles.

Des manipulations préalables ( sections de solides
en polystyrène par exemple) permettent de conjecturer ou d'illustrer la
nature des sections planes étudiées.
Ce sera une occasion de faire des calculs de longueur et d'utiliser les
propriétés rencontrées dans d'autres rubriques ou les années
antérieures.

A propos de pyramides, les activités se limiteront à
celles dont la hauteur est une arrête latérale et aux pyramides
régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par
ailleurs.

Le travail avec un formulaire qui n'exclut pas la
mémorisation, permettra le réinvestissement et l'entretien d'acquis des
années précédentes : aire des surfaces et volumes, des solides étudiées
dans ces classes.

Des activités de comparaison d'aires, d'une part,
et de volume, d'autre part, seront autant d'occasions de manipulations
de formules et de transformations d'expressions algébriques. Ce travail
prend appui sur celui fait en géométrie dans l'espace.

Géométrie dans l'espace

première partie

Le point de vue de l'artiste

La cité idéale (1475), Piero della Francesca

La perspective est l'art de représenter les objets à trois dimensions
sur une surface plane, en tenant compte des effets de l'éloignement et
de leur position dans l'espace par rapport à l'observateur. Pour
l'artiste, certaines droites parallèles dans la réalité sont
représentées comme des droites sécantes.

Le point de vue mathématique, la perspective cavalière

Par contre, en perspective cavalière, les parallèles dans la réalité sont représentées par des droites parallèles:

Par convention, on représente les arêtes invisibles en pointillés.

Ainsi la face au premier plan est, dans ce cube, le carré ABCD.

Une représentation plane: le patron

Dessiner les 11 patrons d'un cube:

Définitions

Patron:

(nom masculin)

Modèle pour la broderie, la tapisserie, pour fabriquer
un objet. Pochoir pour le coloriage. Papier découpé servant de modèle
pour tailler un vêtement.

Brevet 2004 Aix-Marseille

Quel est la nature des polygones suivants?

  • triangle ABC
  • triangle ABC
  • quadrilatère ABFE
  • triangle ACG
  • quadrilatère ACGE

Brevet 2005 Aix-Marseille

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne AE = 3 m; AD = 4 m; AB = 6 m.

    • a) Que peut-on dire des droites (AE) et (AB) ? Le justifier.
    • b) Les droites (EH) et (AB) sont-elles sécantes ?
    • a) Calculer EG. On donnera la valeur exacte.
    • b)
      En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur
      exacte de la longueur de la diagonale [EC] de ce parallélépipède
      rectangle.
    • Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72 m³.
    • Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108 m².

Remarque

Ainsi les exercices classiques de l'espace ne sont que
des exercices habituels. Il s'agit de trouver le plan dans lequel on
travaille!

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Mathieu

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