Définition

  • Soit Df l’ensemble de définition d’une fonction f.
  • Soit f(x) une fonction définie sur R de la variable x.
  • On considère que la fonction f est dérivable en un point a si  \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x) -f(a)}{x-a} tend vers a.
  • La fonction f est dérivable lorsque cette limite s’applique en tout point de la fonction.
  • On note la dérivée de la fonction f(x) en f’(x).

 

Quelle est la courbe et la dérivée de la fonction x^2 ? Dérivée en un point de la fonction x^2

 

 

Les dérivées usuelles

Dans ce tableau vous trouverez les dérivées usuelles pour les fonctions les plus communes.

FonctionsEnsemble de définitionEnsemble de dérivabilitéDérivéeRemarque
λRR0λ est une constante dans R
λxRRλλ est une constante dans R
1/xR*R*-1/x2
√(x)R+R+1/(2√(x))
xnRRnxn-1n est un entier naturel
x-nRR-nx-n-1n est un entier naturel
ln (x)R+R+1/x
exRRex
sin(x)RRcos(x)
cos(x)RR-sin(x)
tan(x)R\((π/2+πZ)R\((π/2+πZ)1+tan2(x)

Remarques :

  • La dérivée d’une constante est égale à 0 car son coefficient directeur est nul (le tracé d’une fonction constante est une ligne horizontale)
  • Si l’on n’arrive pas à se souvenir de la dérivée de \frac{1}{x}, on peut raisonner de la manière suivante :  \frac{1}{x}  = x^{-1} . A partir de cette constatation, on peut appliquer la formule de la dérivée de x^{-n} avec n=1
  • La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle. C’est justement une propriété de cette fonction

    Quelle est la courbe de la fonction exponentielle ? La fonction exponentielle et sa dérivée sont identiques

  • Le calcul de la dérivée permet d’obtenir le coefficient directeur de la fonction. Si la dérivée est négative sur un interval, la fonction sera décroissante et inversement, si la dérivée est positive sur un interval la fonction sera croissante

Quel est le lien entre la fonction et sa dérivée ? Démonstration du lien entre la dérivée et le coefficient directeur

  • Concernant la fonction tan(x), l’ensemble de définition est privé de \frac{pi}{2}+\piZ car cela correspond au modulo de valeurs pour lesquelles la fonction cos(x) est égale à 0. Pour rappel, on sait que tan(x) =  \frac{sin(x)}{cos(x)}

Pour quelle valeur le cosinus s'annule ? Démonstration par le cercle trigonométrique des éléments nuls sur cosinus

Opérations et dérivées

Le premier tableau a permis de découvrir les fonctions usuelles. Cependant, on ne travaille que très rarement sur les fonctions usuelles. Il s’agit la plupart du temps de composition de fonctions usuelles. Dans ces cas la, on applique le calcul des dérivées comme suit :

FonctionDérivée
λ *uλ *u'
u+vu'+v'
1/u-u'/u2
u*vu'v+uv'
u/v(u'v-uv')/v2

Exercices corrigés

Exercice

Pour chacune des fonctions suivantes, donner l’ensemble de définition de la fonction, l’ensemble de dérivabilité et la dérivée. Les exercices ont été placés par ordre de difficulté croissant.

  1. 1. f(x) = 3x
  2. 2. f(x) = 10
  3. 3. f(x) = 3ln(x)
  4. 4 f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 2x+ 5
  5. 5. f(x) = 8x^{4} + 3x^{3} + 10x^{2}
  6. 6. f(x) = (3x + 3)(4x + 2)
  7. 7. f(x) =\frac{1}{4x + 2}
  8. 8. f(x) = \frac{3x + 3}{4x + 2}
  9. 9. f(x) =\frac{(3x + 3)(4x+2)}{(4x + 2)(2x+5)}

Corrigé

  1.  1. f(x) = 3x

f(x) est une fonction définie et dérivable sur R. La fonction est sous la forme λ * u avec λ = 3 et u = x. D’après le tableau des dérivées usuelles, on obtient u’ = 1.

D’où

f'(x) = 3

  1.  2.f(x) = 10

f(x) est une fonction définie et dérivable sur R. La fonction est sous la forme λ avec λ = 10. Or la dérivée d’une constante est égale à 0.

D’où f'(x) = 0

  1. 3. f(x) = 3ln(x)

ln(x) étant définie et dérivable sur R+, f(x) est définie et dérivable sur R+. La fonction est sous la forme λ*u avec λ = 3 et u = ln(x). 

D’après le tableau des dérivées usuelles on sait que u’= (ln(x))’ = 1/x.

D’après le tableau des opérations et dérivées, on sait que la dérivée de λ*u est λ*u’.

D’où f'(x) = \frac{3}{x}

  1. 4. f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 2x+ 5

f(x) étant un polynôme de degré 3, elle est définie et dérivable sur R. La fonction polynomiale est une somme d’éléments avec des coefficients différents sous la forme

a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n}

Pour calculer la dérivée d’un polynôme on calcule donc séparément la dérivée de chacun de ses éléments qui la composent.

On calcule la dérivée de chaque élement

(x^{3})' = 3x^{2}

(3x^{2})' = 6x

(2x)' = 2

(5)' = 0

Il nous reste par la suite à simplement faire l’addition de l’ensemble des dérivées. D’où

f'(x) = 3x^{2} + 6x + 2

  1. 5. f(x) = 8x^{4} + 3x^{3} + 10x^{2}

f(x) étant un polynôme, elle est définie et dérivable sur R.De la même manière que l’on a fait précédemment, on calcule l’ensemble des dérivées unitaires de notre polynôme.

(8x^{4})' = 4*8*x^{3} = 32x^{3}

(3x^{3})' = 9x^{2}

(10x^{2})' = 2*10x = 20x

Il nous reste maintenant simplement à additionner les résultats de nos dérivées. D’où

f'(x) = 32x^{3} + 9x^{2} + 20x

  1. 6. f(x) = (3x + 3)(4x + 2)

Pour calculer la dérivée de cette fonction, il existe 2 possibilités :

  • 1. Développer la fonction puis calculer la dérivée du polynôme
  • 2. Utiliser le modèle des opérations et dérivées en considérant la fonction avec le produit u*v

On va pour l’exemple utiliser les deux méthodes pour calculer cette dérivée.

  1. On développe la fonction f(x) :

f(x) =  (3x+3)(4x+2) =  3x * 4x + 3x*2 + 3*4x + 3 * 2 =  12x^{2}  + 6x + 12x + 6 =  12x^{2} + 18x + 6

Une fois le développement effectué, bien que cela ne soit pas obligatoire, on peut factoriser notre fonction, on obtiendrait ainsi :

f(x) =  12x^{2} + 18x + 6  =  6(2x^{2} + 3x +1)

Maintenant que l’on a notre polynôme, il nous suffit de calculer la dérivée de chacun des éléments :

(12x^{2})' = 2*12x = 24x  (18x)' = 18  (6)' = 0

On obtient donc

f'(x) = 24x + 18 = 6(4x +3)

2. On utilise la formule dans notre tableau d’opérations et dérivées :

On considère que la fonction f(x) est sous la forme f(x) =  u*v avec u = 3x + 3 et v = 4x+2.

On calcule la dérivée de u.

u’ = 3 + 0 = 3

On calcule la dérivée de v :

v’ = 4 + 0 = 4

Enfin d’après la tableau des opérations et dérivées, on sait que : (u*v)’ = u’v + uv’

Pour résumer on a u = 3x + 3, u’ = 3, v = 4x+2 et v’ = 4.

On applique notre formule :

f'(x) =  u'v +uv' =  3*(4x+2) + (3x+3)*4 =  12x + 6 + 12x + 12 =  24x + 18 =  6*(4x +3)

On retrouve bien le même résultat qu’avec la méthode 1.

  1. 7. f(x) = \frac{1}{4x + 2}

Pour trouver l’ensemble de définition de la fonction, il faut trouver la valeur de x pour laquelle le dénominateur est égal à 0. On doit donc résoudre l’équation suivante :

4x + 2 = 0 \Leftrightarrow 4x = -2 \Leftrightarrow x =  \frac{-2}{4} \Leftrightarrow  x = \frac{-1}{2}

La fonction f(x) est donc définie et dérivable sur R\{-1/2}.

La fonction f(x) est sous la forme 1/u avec u = 4x+2.

D’après le tableau ci-dessus, on sait que :

(\frac{1}{u})' = \frac{-u'}{u^{2}}

On calcule séparément u’. u’ = 4. Enfin, on applique la formule :

f'(x) =  \frac{-4}{(4x+2)^{2}}

  1. 8. f(x) = \frac{3x + 3}{4x + 2}

Comme pour la fonction précédente, on doit regarder dans un premier temps pour quelle valeur le dénominateur s’annule. Le dénominateur étant le même que dans la fonction précédente, on connait déjà la valeur.

f(x) est définie et dérivable sur R\{-1/2}.

On constate ici que la fonction est sous le format u/v avec u = 3x+3 et v = 4x+2.

On calcule les dérivées de u et v.

u’ =3 et v’ =4

Il nous reste ensuite simplement à appliquer la formule :

f'(x) =

\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =

\frac{3*(4x+2)-(3x+3)*4}{(4x+2)^{2}} =

\frac{12x +6 -12x+12}{(4x+2)^{2}} =

\frac{18}{(4x+2)^{2}}

  1. 9. f(x) =\frac{(3x + 3)(4x+2)}{(4x + 2)(2x+5)}

Pour déterminer l’ensemble de définition de la fonction, il faut connaitre la valeur pour laquelle le dénominateur s’annule. Il nous faut donc résoudre l’équation suivante :

(4x+2)(2x+5) = 0

Pour résoudre cette équation, nous avons 2 possibilités. Néanmoins, par soucis de rapidité la première méthode sera préférée à la deuxième.

  1. 1. Le produit de deux éléments qui s’annulent veut dire que, soit le premier est nul, soit le deuxième élément est nul.
  2. 2. On développe l’équation et on résoud l’équation de 2nd degré.

1. Avec la méthode 1, on sait que si (4x+2)(2x+5) = 0 alors 4x +2 = 0 ou 2x+5 = 0.

D’où

x1 = -1/2 et x2 = -5/2

2. Avec la méthode 2, on développe notre équation

(4x+2)(2x+5) =  4x *2x + 4x*5 + 2*2x + 2*5 =  8x^{2} + 20x + 4x + 10 =  8x^{2} + 24x + 10

On obtient l’équation du second degré suivante :

8x^{2} + 24x + 10 = 0 \Leftrightarrow 4x^{2} + 12x + 5 = 0

On calcule le déterminant :

delta = 12^{2} - 4*4*5 = 144 - 80 = 64

Le discriminant étant positif, on obtient les valeurs suivantes :

x_{1} = \frac{-12-\sqrt{64}}{2*4} = \frac{-12-8}{8} = \frac{-20}{8} = \frac{-5}{2}  x_{2} = \frac{-12 +\sqrt{64}}{2*4} = \frac{-12+8}{8} = \frac{-4}{8} = \frac{-1}{2}

On retrouve bien les mêmes résultats qu’avec la méthode 1.

Par conséquent, f(x) est définie et dérivable sur R\{-1/2;-5/2}.

Cette dernière fonction est plus compliquée à dériver car il faut prendre en compte plusieurs facteurs. On peut transformer la fonction comme suit :

. f(x) =\frac{(3x + 3)(4x+2)}{(4x + 2)(2x+5)} = \frac{u}{v} avec

u = (3x + 3)(4x+2) et v = (4x + 2)(2x+5)

Pour calculer la dérivée de u, on la décompose à nouveau comme suit :

u =  (3x + 3)(4x+2) = a*b avec a = 3x + 3 et b = 4x+2

On calcule donc les dérivées de a et b :

a’ = 3 et b’ = 4.

On obtient donc :

u’ = a’b + ab’ = 3(4x+2) + (3x+3)*4 = 12x + 6 + 12x + 12 = 24x + 18

De la même manière on décompose v:

v = (4x + 2)(2x+5) = s*t avec s = 4x+2 et t = 2x+5

On calcule les dérivées de s et t :

s’ = 4 et t’= 2

Enfin on calcule v’ :

v’ = s’t + st’ = 4(2x+5) + (4x+2)*2 = 8x + 20 + 8x + 4 = 16x + 24

On a :

u =  (3x + 3)(4x+2) , u’ = 24x + 18 et v = (4x + 2)(2x+5) , v’ = 16x + 24

On peut donc calculer la dérivée de f :

f'(x) =

(\frac{(3x + 3)(4x+2)}{(4x + 2)(2x+5)})' =

\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =

\frac{(24x + 18)(4x + 2)(2x+5)-(3x + 3)(4x+2)(16x + 24)}{((4x + 2)(2x+5))^{2}}

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