Équation d’une ligne de courant : définition, calcul et exemple résolu

Q: 💧 C’est quoi une ligne de courant, et comment trouver son équation ?

Une ligne de courant est une courbe tangente en chaque point au vecteur vitesse de l’écoulement, à un instant donné. Pour trouver son équation, il faut intégrer la relation <code>dx/u = dy/v = dz/w</code> à t fixé : consulte l’exemple résolu du tourbillon de Taylor plus haut pour voir la méthode appliquée de bout en bout.

Q: 🔢 Quels sont les 3 types d’équations d’une ligne de courant ?

Une ligne de courant s’écrit sous trois formes équivalentes : la forme différentielle <code>dx/u = dy/v = dz/w</code>, la forme paramétrique, et la forme cartésienne explicite quand l’intégration permet d’isoler <code>y</code> en fonction de <code>x</code>.

Q: 🔄 Quelle est l’équation de continuité ?

L’équation de continuité traduit la conservation de la masse le long d’un tube de courant. Pour un fluide incompressible, elle se traduit par <code>v₁S₁ = v₂S₂</code> : si la section diminue, la vitesse augmente pour que le débit reste constant.

Q: ⚡ Et l’équation des lignes de champ électrique ?

C’est un autre sens du mot « courant » : les lignes de champ électrique relèvent de l’électromagnétisme, pas de la mécanique des fluides. Elles décrivent la direction du champ électrique en chaque point de l’espace, une notion distincte de la ligne de courant étudiée sur cette page.

Par Clément

Rédigé le 30 novembre 2021

11 minutes de lecture

Une ligne de courant est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse de l’écoulement, à un instant donné. Son équation s’obtient en intégrant la relation :

\frac{\mathrm{d}x}{u} = \frac{\mathrm{d}y}{v} = \frac{\mathrm{d}z}{w}

où u, v et w sont les composantes du champ de vitesse.

Cette page va au-delà de la définition : elle détaille la méthode de calcul étape par étape, jusqu’à un exemple entièrement résolu, puis relie la notion à la conservation du débit et à la relation de Bernoulli, désormais au programme de terminale spécialité. Ce socle de dynamique des fluides revient régulièrement en génie mécanique comme en cours de prépa.

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C’est quoi une ligne de courant ? 🌊

Une ligne de courant est une courbe imaginaire tracée dans un fluide en mouvement, telle qu’en chacun de ses points, la tangente est colinéaire au vecteur de déplacement de l’écoulement, à un instant donné. Elle donne une photographie de l’écoulement figée dans le temps, une lecture utile pour caractériser rapidement un régime. Un champ de vitesses représente, en chaque point de l’espace, le vecteur vitesse du fluide à un instant donné.

📐 Une courbe tangente au vecteur vitesse

Selon Unisciel (Mines Douai), une ligne de courant est « toute courbe dont la tangente en chacun de ses points est, à chaque instant et localement, colinéaire au vecteur vitesse du champ d’écoulement ». Le point-clé est la précision « à chaque instant » : c’est ce qui distingue la ligne de courant d’une trajectoire, qui suit une particule dans la durée.

exposition longue voitures — À un instant donné, chaque ligne de courant est tangente au vecteur vitesse local du fluide.

Le bon réflexe pour ne pas confondre

Une ligne de courant se dessine à un instant t figé, comme une photo de l’écoulement. Une trajectoire, elle, se dessine en suivant une particule dans le temps, comme une vidéo. En écoulement permanent, les deux se confondent.

🧪 Qu’est-ce qu’un tube de courant ?

Cet ensemble de courbes s’appuie sur un contour fermé : imagine un tuyau virtuel dessiné dans le fluide, dont le débit ne traverse jamais les parois latérales, puisque ces parois sont par construction tangentes à l’écoulement local. C’est cette propriété qui rend l’objet si utile pour raisonner sur la conservation du débit, et qui revient constamment en cours de génie des procédés.

En notation vectorielle, on écrirait la vitesse locale :

\vec{v}(x, y, z, t)

avec t l’instant considéré et ∂ l’opérateur de dérivée partielle utilisé pour écrire ses variations.

Ligne de courant ou trajectoire : quelle différence ? 🔄

La trajectoire suit une même particule fluide à des instants différents, alors que la ligne de courant relie des particules différentes à un même instant τ. En écoulement permanent, les deux notions coïncident avec les lignes d’émission.

👁️ Deux notions qu’on confond tout le temps

Imagine une photo instantanée de la surface d’une rivière : les flèches que tu pourrais y dessiner, tangentes au courant visible à cet instant précis, forment les lignes de courant.

Maintenant, imagine plutôt le parcours d’un bouchon en plastique qui flotte et que tu suis des yeux pendant plusieurs secondes : ce parcours est sa trajectoire.

La photo capture tout l’espace à un instant ; le parcours capture un point dans la durée.

⏱️ Quand trajectoire et ligne de courant se confondent-elles ?

D’après Eric Daniel (Aix-Marseille Université / Polytech Marseille), « dans le cas d’un écoulement permanent, qui ne dépend pas du temps, les trajectoires, les lignes de courant et les lignes d’émissions sont confondues et représentent la même chose ».

Un écoulement est permanent si le champ des vitesses, la pression et la masse volumique ne dépendent pas du temps en chaque point, selon la définition d’Unisciel. C’est le cas le plus fréquent en exercice !

Notion	Ce qu’elle suit	Ce qu’on observe	Confondue avec les autres ?
Ligne de courant	Des particules différentes, à un instant fixé	Les filets de fumée en soufflerie	Oui, uniquement si l’écoulement est permanent
Trajectoire	Une même particule, au fil du temps	Le parcours d’un bouchon qui flotte	Oui, uniquement si l’écoulement est permanent
Ligne d’émission	Toutes les particules passées par un point fixe	Le panache continu d’une cheminée	Oui, uniquement si l’écoulement est permanent

Comment trouver l’équation d’une ligne de courant ? 🧮

L’équation d’une ligne de courant s’obtient en intégrant l’équation différentielle :

\frac{\mathrm{d}x}{u} = \frac{\mathrm{d}y}{v} = \frac{\mathrm{d}z}{w}

à un instant t fixé, où u, v et w sont les composantes du vecteur vitesse.

Ici,

étapes suffisent :

Ecrire le champ de vitesse

Poser l’égalité des rapports

Intégrer

✏️ L’équation différentielle des lignes de courant

Pour un point de coordonnées (x, y, z) animé de la vitesse (u, v, w), une ligne de courant vérifie :

\frac{\mathrm{d}x}{u} = \frac{\mathrm{d}y}{v} = \frac{\mathrm{d}z}{w}

Selon Eric Daniel, cette relation se formalise aussi :

\frac{\mathrm{d}x_1}{u_1} = \frac{\mathrm{d}x_2}{u_2} = \frac{\mathrm{d}x_3}{u_3} = \lambda

résolue à un instant τ fixé (la lettre grecque tau note ici l’instant d’observation, pour ne pas la confondre avec le temps qui s’écoule le long d’une trajectoire).

Ce blocage du temps est essentiel : on photographie l’écoulement à un instant donné, on ne suit pas une particule qui se déplacerait pendant qu’on intègre. Pour un problème plan (2D), la relation se simplifie en :

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{v}{u}

ce qui suffit dans la grande majorité des exercices de lycée et de prépa.

Représentation graphique d’une intégration de lignes de courant — L’intégration de dx/u = dy/v se fait à un instant t fixé.

🔢 La méthode de calcul en trois étapes

Etape n°1

Écrire les composantes du champ de vitesse u(x, y) et v(x, y) à l’instant considéré

Etape n°2

Poser l’égalité des rapports dx/u = dy/v (cas plan) et la réécrire sous forme d’une équation différentielle en y(x)

Etape n°3

Intégrer cette équation pour obtenir la relation entre x et y qui décrit la famille des lignes de courant

Étape	Ce qu’on écrit	Opération	Point de vigilance
1	Les composantes du champ de vitesse vx(x, y) et vy(x, y)	Relever le champ à l’instant considéré	Le temps reste figé pendant toute l’intégration
2	L’égalité des rapports dx/vx = dy/vy	Réécrire en équation différentielle en y(x)	Séparer les variables avant d’intégrer
3	L’intégration de l’équation différentielle	Obtenir la famille de courbes des lignes de courant	Chaque valeur de la constante d’intégration sélectionne une ligne particulière

🌀 Un exemple résolu : le tourbillon de Taylor

Marc Buffat (Université Claude Bernard Lyon 1) propose l’exemple du tourbillon de Taylor, dont le champ de vitesse s’écrit :

u = \sin(\pi x) \cos(\pi y) \quad \text{et} \quad v = -\cos(\pi x) \sin(\pi y)

L’équation des lignes de courant devient :

\frac{\mathrm{d}x}{\sin(\pi x) \cos(\pi y)} = \frac{\mathrm{d}y}{-\cos(\pi x) \sin(\pi y)}

En séparant les variables, on regroupe les termes en x d’un côté et en y de l’autre, puis on intègre chaque membre. Le résultat est une équation cartésienne explicite :

\sin(\pi x) \cdot \sin(\pi y) = \text{constante}

Chaque valeur de la constante trace une ligne de courant différente : c’est exactement cette famille de courbes qui dessine la structure tourbillonnaire de l’écoulement.

Pour approfondir la cinématique des fluides et les autres notions du programme de physique-chimie, consulte le silo de fiches physique-chimie de Superprof !

Quels sont les 3 types d’équations d’une ligne de courant ? 📋

Une ligne de courant peut s’écrire de

façons équivalentes selon la forme du champ de vitesse :

La forme différentielle

La forme paramétrique

La forme cartésienne explicite

➗ La forme différentielle et la forme paramétrique

La forme différentielle est l’écriture générale :

\frac{\mathrm{d}x}{u} = \frac{\mathrm{d}y}{v} = \frac{\mathrm{d}z}{w}

valable pour tout champ de vitesse à un instant fixé. La forme paramétrique décrit la même courbe à l’aide d’un paramètre qui évolue le long de la ligne, utile quand on veut tracer la courbe point par point plutôt que la résoudre analytiquement.

📈 La forme cartésienne explicite

Quand l’intégration le permet, on isole y en fonction de x : c’est la forme cartésienne explicite, comme dans l’exemple du tourbillon de Taylor où l’on obtient :

\sin(\pi x) \cdot \sin(\pi y) = C

Cette forme est la plus lisible pour visualiser directement l’allure des lignes de courant.

Quelle est l’équation de continuité ? 💧

Cette relation traduit la conservation de la matière le long de cet ensemble de trajectoires figées : en régime permanent, ce qui entre égale ce qui sort, ce qui donne pour un fluide de densité homogène :

v_1 S_1 = v_2 S_2

où S désigne l’aire de la surface traversée. On peut aussi l’écrire à l’aide du flux du vecteur vitesse v⃗ à travers cette surface, en notation compacte dm/dt = 0 pour la variation de masse au cours du temps : ce flux entrant égale le flux sortant.

⚖️ La conservation de la masse dans un tube de courant

D’après Unisciel, en régime permanent, le flux de matière à travers une surface fermée est nul : l’équation locale de conservation traduit ce transfert massique. La quantité entrant dans un volume de contrôle égale exactement celle qui en sort, sans variation de pression qui viendrait perturber l’équilibre. Une lecture attentive de ce raisonnement aide à comprendre pourquoi le débit reste constant même quand la géométrie change !

➡️ Le débit se conserve : v₁S₁ = v₂S₂

Pour un fluide de densité homogène, le volume qui traverse cette géométrie par unité de temps reste inchangé :

v₁S₁ = v₂S₂, où S est l’aire de la surface traversée et v la vitesse moyenne du fluide qui la parcourt.

Concrètement, si l’espacement se resserre, le fluide doit accélérer pour que le même volume continue de passer par unité de temps, un raisonnement de base en dynamique des fluides appliquée.

Relation de Bernoulli sur une ligne de courant :

2020

est l'année d’entrée de la relation au programme de spécialité physique-chimie de terminale générale (source : Eduscol)

🌪️ Pourquoi la vitesse augmente-t-elle quand la section diminue ?

C’est l’effet Venturi, qui se démontre à partir de cette relation d’équilibre : si l’aire S₂ est inférieure à S₁, alors le fluide accélère et sa pression chute, avec un écart ΔP = P₁ − P₂qui croît d’autant plus que le rétrécissement est marqué.

C’est ce même principe qui explique pourquoi l’eau accélère quand tu pinces un tuyau d’arrosage, ou pourquoi une rivière court plus vite dans un passage resserré !

Bernoulli sur une ligne de courant : que dit le programme ? 🎓

La relation de Bernoulli s’écrit sur une ligne de courant, entre deux points A et B d’un même écoulement homogène, de densité constante, permanent et parfait.

Elle figure désormais au programme de spécialité de terminale générale, un classique du génie physique enseigné aussi en école d’ingénieur.

D’après Eduscol (Ministère de l’Éducation nationale), pour un écoulement homogène, à densité constante, permanent et parfait, cette relation s’écrit entre deux points A et B, avec un terme quadratique en vitesse :

P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2

Les quatre

hypothèses sont cumulatives :

Ecoulement homogène

Même fluide partout

Ecoulement à densité constante

Constant

Ecoulement permanent

Ne dépend pas du temps

Ecoulement parfait

Sans frottement visqueux

Critère de classement	Type	Définition	Conséquence sur les lignes de courant
Dépendance au temps	Écoulement permanent (stationnaire)	Le champ de vitesse en chaque point ne dépend pas du temps	Ligne de courant, trajectoire et ligne d’émission se confondent
Dépendance au temps	Écoulement instationnaire	Le champ de vitesse en un point varie au cours du temps	Les trois courbes se séparent
Structure de l’écoulement	Régime laminaire	Les filets fluides glissent les uns sur les autres sans se mélanger
Structure de l’écoulement	Régime turbulent	Les filets fluides s’enchevêtrent	Une même géométrie peut être permanente en moyenne et turbulente dans le détail

✅ Les conditions d’application de Bernoulli

Selon Eduscol, cette relation n’était jusqu’alors abordée dans le secondaire que dans les filières technologiques, notamment STI2D ; elle figure désormais au programme de l’enseignement de spécialité de terminale générale, et reste un point d’appui classique en cours de génie mécanique dans le supérieur.

Schéma des conditions d’application de la relation de Bernoulli — Les quatre hypothèses de Bernoulli : écoulement homogène, incompressible, permanent et parfait.

Pour un écoulement homogène, incompressible, permanent et parfait, la relation de Bernoulli s’écrit sur une ligne de courant entre deux points A et B.
Eduscol, Ministère de l’Éducation nationale, Enseignement de la relation de Bernoulli (2020)

⚠️ Où s’arrête le modèle ?

Le document Eduscol signale aussi les limites du modèle :

Les pertes de charge dues aux frottements réels ne sont pas prises en compte par la relation idéale
Un dispositif expérimental à trois tubes permet de mesurer l’écart Δ entre le modèle théorique et l’écoulement réel

Cette mise en garde didactique est utile : cette approximation reste précise dans son cadre d’hypothèses, mais ce n’est pas une loi universelle.

Dispositif expérimental à trois tubes pour tester la relation de Bernoulli — Le dispositif à trois tubes permet de mesurer l’écart entre le modèle de Bernoulli et l’écoulement réel.

« Ligne de courant » en électricité : de quoi parle-t-on ? ⚡

Le mot « courant » désigne aussi le courant électrique, mais il s’agit alors d’une notion complètement différente de la ligne de courant en mécanique des fluides.

En électricité, le « courant » correspond au déplacement de charges électriques dans un circuit, mesuré en ampères.

La notion géométrique de « ligne de courant » que tu viens d’étudier n’a pas d’équivalent direct en électrocinétique : elle appartient exclusivement à la cinématique des fluides, où elle décrit la direction du mouvement d’un liquide ou d’un gaz.

Si c’est le courant électrique qui t’intéresse, tu trouveras les fiches correspondantes dans le silo physique-chimie de Superprof, une bonne lecture complémentaire pour situer les deux notions l’une par rapport à l’autre !

Illustration d’un circuit électrique, à ne pas confondre avec une ligne de courant en mécanique des fluides — Le courant électrique et la ligne de courant en mécanique des fluides sont deux notions distinctes.

Graphique d’un circuit électrique — Les grandeurs électriques (intensité, tension) se mesurent différemment des grandeurs de l’écoulement d’un fluide.

La notion étudiée ici, son équation :

\frac{\mathrm{d}x}{u} = \frac{\mathrm{d}y}{v} = \frac{\mathrm{d}z}{w}

Exercice complémentaire 📝

Pour t’entraîner à appliquer la méthode en trois étapes, voici un exercice complémentaire tiré du champ des vitesses étudié plus haut sur cette page, dans l’esprit d’un cours de dynamique des fluides de premier cycle.

\vec{v}(M, t) \begin{cases} b \\ a \cdot \cos(pt) \\ 0 \end{cases}_{\!\!(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})}

Caractériser l’écoulement

Déterminer l’allure des lignes de courant

Déterminer l’allure des trajectoires

Applique la méthode en

étapes vue plus haut :

Ecris les composantes du champ de vitesse
Pose l’égalité des rapports dx/u = dy/v
Puis intègre pour obtenir l’équation des lignes de courant

Compare ensuite ce résultat à l’allure des trajectoires pour vérifier si l’écoulement est permanent !

Illustration complémentaire pour l’exercice de cinématique des fluides — Illustration complémentaire pour visualiser l’évolution du champ de vitesse.

Document annexe pour l’exercice — Document annexe utile pour l’analyse graphique de l’écoulement.

Second document annexe pour l’exercice — Second document annexe pour comparer lignes de courant et trajectoires.

La conservation du débit et la relation de Bernoulli forment un socle cohérent de dynamique des fluides. Avec la méthode en trois étapes et l’exemple du tourbillon de Taylor en main, tu peux désormais résoudre un exercice de bout en bout, de la définition au calcul final !

Sources 📚

Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse. "Enseignement de la relation de Bernoulli : aspects didactiques." Eduscol, 2020, https://eduscol.education.gouv.fr/sites/default/files/document/ra20lyceegtphychididactique-relation-bernoulli1313077pdf-82461.pdf.
Wojkiewicz, Jean-Luc. "Ligne et tube de courant." Unisciel, Introduction à la mécanique des fluides, 2013, https://ressources.unisciel.fr/mecaflux/co/AC1-C3_LigneTubeCourant.html.
Wojkiewicz, Jean-Luc. "Trajectoire." Unisciel, Introduction à la mécanique des fluides, 2013, https://ressources.unisciel.fr/mecaflux/co/AC1-C4_Trajectoire.html.
Wojkiewicz, Jean-Luc. "Notion d’écoulement." Unisciel, Introduction à la mécanique des fluides, 2013, https://ressources.unisciel.fr/mecaflux/co/AC1-C5_NotionEcoulement.html.
Wojkiewicz, Jean-Luc. "Équation locale en régime permanent." Unisciel, Introduction à la mécanique des fluides, 2013, https://ressources.unisciel.fr/mecaflux/co/AC2-C3_EqLocaleRegPermanent.html.
Daniel, Eric. "Éléments de cinématique des fluides." Introduction à la Mécanique des Fluides, Aix-Marseille Université / Polytech Marseille, 2020, https://code-mphi.fr/documents/IntroMF/cinematique.html.
Buffat, Marc. "Exercices de cinématique." Cours de mécanique des fluides approfondie, Université Claude Bernard Lyon 1, 2023, https://perso.univ-lyon1.fr/marc.buffat/COURS/BOOK_MECAFLU_HTML/td1.html.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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Les questions fréquentes

💧 C’est quoi une ligne de courant, et comment trouver son équation ?

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L’équation de continuité traduit la conservation de la masse le long d’un tube de courant. Pour un fluide incompressible, elle se traduit par v₁S₁ = v₂S₂ : si la section diminue, la vitesse augmente pour que le débit reste constant.

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