Les opérateurs mathématiques différentiels

Par Joy

Rédigé le 20 octobre 2014

2 minutes de lecture

Chapitres

01. I/ Gradient
02. II/ Divergence
03. III/ Rotationnel
04. IV/ b.grad a
05. V/ Laplacien
06. VI/ Propriétés

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I/ Gradient

A) Définition

B) Propriétés

Le gradient de f est perpendiculaire aux surfaces "équi f".
Le gradient de f est dirigé vers les f croissants.

C) Circulation d'un gradient

La circulation d'un gradient est indépendante du chemin suivi.
On dit que le gradient est à circulation conservative.

D) Composantes du gradient dans différents systèmes de coordonnées

Composantes en coordonnées cartésiennes.
Utilisation de l'opérateur nabla
Composantes en coordonnées cylindriques (formulaire)
Composantes en coordonnées sphériques (formulaire)

II/ Divergence

A) Définition

B) Théorème d'Ostrogradski

C) Champ à flux conservatif

Un champ dont la divergence est identiquement nulle est à flux conservatif : Le flux entrant dans un tube de champ est égal au flux sortant du tube ou le flux à travers une surface fermée est nul.

D) Expression de divergence dans différents systèmes de coordonnées

Expression en coordonnées cartésiennes.
Expression en coordonnées cylindriques (formulaire)

III/ Rotationnel

A) Définition

B) Théorème de Stokes

C) Champ à circulation conservative

Un champ dont le rotationnel est identiquement nul est à circulation conservative.

D) Composantes du rotationnel en coordonnées cartésiennes

Composantes en coordonnées cartésiennes.

IV/ b.grad a

A) Composantes en coordonnées cartésiennes

B) Variation élémentaire d’un vecteur à t fixé

V/ Laplacien

A) Laplacien scalaire

a. Définition

b. Expression en coordonnées cartésiennes

B) Laplacien vectoriel

a. Définition

b. Composantes en coordonnées cartésiennes

VI/ Propriétés

La divergence d'un rotationnel est nulle.
Le rotationnel d'un gradient est nul.
Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à circulation conservative <=> Il s'écrit sous forme d'un gradient <=> son rotationnel est nul.
Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à flux conservatif <=> Il s'écrit sous forme d'un rotationnel <=> sa divergence est nulle.

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !

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