Chapitres
- 01. I/ Gradient
- 02. II/ Divergence
- 03. III/ Rotationnel
- 04. IV/ b.grad a
- 05. V/ Laplacien
- 06. VI/ Propriétés
I/ Gradient
A) Définition
B) Propriétés
- Le gradient de f est perpendiculaire aux surfaces "équi f".
- Le gradient de f est dirigé vers les f croissants.
C) Circulation d'un gradient
-
La circulation d'un gradient est indépendante du chemin suivi.
- On dit que le gradient est à circulation conservative.
D) Composantes du gradient dans différents systèmes de coordonnées
-
Composantes en coordonnées cartésiennes.
-
Utilisation de l'opérateur nabla
-
Composantes en coordonnées cylindriques (formulaire)
-
Composantes en coordonnées sphériques (formulaire)
II/ Divergence
A) Définition
B) Théorème d'Ostrogradski
C) Champ à flux conservatif
-
Un champ dont la divergence est identiquement nulle est à flux conservatif : Le flux entrant dans un tube de champ est égal au flux sortant du tube ou le flux à travers une surface fermée est nul.
D) Expression de divergence dans différents systèmes de coordonnées
-
Expression en coordonnées cartésiennes.
-
Expression en coordonnées cylindriques (formulaire)
III/ Rotationnel
A) Définition
B) Théorème de Stokes
C) Champ à circulation conservative
- Un champ dont le rotationnel est identiquement nul est à circulation conservative.
D) Composantes du rotationnel en coordonnées cartésiennes
- Composantes en coordonnées cartésiennes.
IV/ b.grad a
A) Composantes en coordonnées cartésiennes
B) Variation élémentaire d’un vecteur à t fixé
V/ Laplacien
A) Laplacien scalaire
a. Définition
b. Expression en coordonnées cartésiennes
B) Laplacien vectoriel
a. Définition
b. Composantes en coordonnées cartésiennes
VI/ Propriétés
- La divergence d'un rotationnel est nulle.
- Le rotationnel d'un gradient est nul.
- Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à circulation conservative <=> Il s'écrit sous forme d'un gradient <=> son rotationnel est nul.
- Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à flux conservatif <=> Il s'écrit sous forme d'un rotationnel <=> sa divergence est nulle.
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