Une paroi de barrage n’est jamais aussi épaisse en haut qu’en bas. Ce n’est pas un hasard de construction : c’est la conséquence directe d’un point précis : le centre de poussée, où s’applique la résultante des forces de pression d’un fluide sur une surface.
Le centre de poussée se situe toujours plus bas que le centre de gravité de la paroi qu’il presse. Cette page explique pourquoi, comment le calculer avec la méthode du moment quadratique, et ce que ça change concrètement sur un ouvrage comme un barrage.
C’est quoi la mécanique des fluides ? 🌊
La mécanique des fluides est l’étude du comportement des liquides et des gaz, qu’ils soient au repos ou en mouvement.
Elle se divise en
grandes branches :
La statique des fluides (aussi appelée hydrostatique)
qui étudie les fluides immobiles
La dynamique des fluides
qui étudie les écoulements
Cette page se concentre sur l’hydrostatique, puisque le centre de poussée est une notion de fluide au repos.
Statique ou dynamique : deux branches
La statique des fluides s’intéresse aux fluides sans mouvement, et à la façon dont la pression s’y répartit. La dynamique des fluides, elle, décrit les écoulements : vitesse, débit, turbulence. Le centre de poussée relève entièrement de la statique : c’est un point d’équilibre, pas un phénomène d’écoulement.
La loi fondamentale de l’hydrostatique
Toute l’hydrostatique repose sur une relation simple :
où p est la pression, ρ la masse volumique du fluide, g le champ de pesanteur et zl’altitude.
Selon le Laboratoire de mécanique des fluides et d’acoustique (LMFA, INSA Lyon) et l’ENS de Lyon, cette loi signifie que « la variation de pression (verticale) entre deux plans horizontaux est égale au poids de la colonne d’eau entre ces deux plans ».
Plus on descend dans un fluide, plus la pression augmente.
Cette relation dimensionnelle se retrouve aussi sous forme d’équation classique, telle qu’elle apparaît dans les manuels de référence :
Équation de référence, équivalente à :
Qu’est-ce que le centre de poussée ? 📐
Le centre de poussée due à la pression d’un liquide sur une paroi est le point d’application de la résultante des forces de pression sur cette paroi. Sur une surface plane immergée, il ne se confond presque jamais avec le centre géométrique ou le centre de gravité de la surface.
Des forces de pression à une résultante unique
Sur une paroi plane immergée, chaque point subit une force de pression perpendiculaire à la surface. D’après le module Mécanique des fluides d’Unisciel, « les forces élémentaires sont toutes parallèles et de même sens. Le système se réduit à une force unique ». C’est cette simplification qui permet de parler d’un point d’application unique plutôt que d’une infinité de petites forces.
La formule de la résultante
L’intensité de cette force résultante s’écrit :
Où z_G est la profondeur du centre de gravité de la surface et S son aire. Unisciel résume l’interprétation physique ainsi : « La poussée exercée par le fluide est égale au poids d’une colonne de fluide ayant pour base la surface de la paroi et pour hauteur la profondeur du centre de gravité » de cette surface sous la surface libre.
Version classique de la formule, équivalente à :
Le tableau suivant récapitule les grandeurs qui interviennent dans ce calcul :
| Symbole | Nom | Unité | Rôle |
|---|---|---|---|
| p | Pression | Pa | Force par unité de surface exercée par le fluide |
| ρ | Masse volumique du fluide | kg/m³ | Caractérise le fluide (eau, huile, etc.) |
| g | Champ de pesanteur | N/kg | 9,81 N/kg à la surface de la Terre |
| z_G | Profondeur du centre de gravité | m | Position du centre géométrique de la paroi sous la surface libre |
| S | Aire de la paroi | m² | Surface totale immergée |
| I_G | Moment d’inertie / centre de gravité | m⁴ | Utilisé pour localiser le centre de poussée |
| z_C | Profondeur du centre de poussée | m | Point d’application de la résultante des forces de pression |
Centre de poussée ou centre de gravité ?
C’est le point le plus souvent confondu : le centre de poussée n’est pas le centre géométrique (ou centre de gravité) de la paroi. Le centre de gravité dépend uniquement de la forme de la surface. Le centre de poussée, lui, dépend en plus de la répartition de la pression, qui n’est pas uniforme sur la paroi.
Le centre de poussée est le point d'application de la résultante des forces de pression sur une paroi.
Il est distinct du centre de gravité de la paroi : la pression augmentant avec la profondeur, la résultante se déplace toujours vers le bas.
Pourquoi le centre de poussée est-il plus bas que le centre de gravité ? 🔽
La pression d’un fluide croît avec la profondeur : c’est la conséquence directe de la loi fondamentale de l’hydrostatique vue plus haut. Sur une paroi verticale ou inclinée, cela veut dire que les forces élémentaires exercées en bas de la paroi sont plus intenses que celles exercées en haut. La résultante de toutes ces forces se déplace donc mécaniquement vers le bas.
La pression augmente avec la profondeur
Reprenons la loi fondamentale :
Sur une paroi verticale, chaque tranche horizontale de la paroi est soumise à une pression différente selon sa profondeur.
En bas de la paroi, la colonne de fluide au-dessus est plus haute, donc la pression y est plus forte.
Une résultante qui se déplace vers le bas
Puisque les forces du bas de la paroi pèsent plus lourd dans le calcul global, le point d’équilibre de l’ensemble de ces forces (le centre de poussée) est mécaniquement tiré vers le bas.
C’est ce raisonnement, plus que la formule seule, qui explique pourquoi les ouvrages qui retiennent l’eau sont conçus plus massifs à leur base.
Comment déterminer le centre de poussée ? 🧮
La position du centre de poussée se calcule par la méthode du moment quadratique : on égale le moment de la résultante à la somme des moments élémentaires, en passant par le théorème de Huygens.
Pour une paroi rectangulaire verticale dont le sommet affleure la surface libre, le résultat classique est que le centre de poussée se situe aux
de la hauteur depuis la surface.
La méthode du moment quadratique
Le principe consiste à écrire que le moment de la force résultante par rapport à une droite de trace A est égal à la somme des moments de toutes les forces élémentaires de pression. Ce calcul fait intervenir le moment quadratique I de la surface, puis le moment d’inertie I_G par rapport au centre de gravité de la surface, relié à I par le théorème de Huygens. Ce résultat de cours classique se note généralement :
Le résultat des deux tiers
Pour une paroi rectangulaire verticale dont le sommet affleure la surface libre, la méthode du moment quadratique aboutit à un résultat particulièrement simple à retenir : le centre de poussée se trouve aux deux tiers de la hauteur, mesurés depuis la surface libre. Pour une paroi horizontale, à l’inverse, le centre de poussée se situe au milieu de la paroi, par simple symétrie du chargement.
Un exemple de calcul
Prends une paroi rectangulaire de largeur l et de hauteur h, plongée dans l’eau, dont le sommet affleure la surface libre. La démarche suit toujours les mêmes étapes :
Calculer
La résultante F avec la formule vue plus haut
Localiser
Le point d’application par la méthode du moment quadratique
Le résultat confirme que ce point n’est jamais au centre géométrique de la paroi, mais plus bas, aux
de la hauteur.
Pour approfondir les bases de la physique-chimie, d’autres notions du programme se combinent naturellement avec l’hydrostatique, notamment la pression, les forces et l’énergie.
Où se trouve le centre de poussée d’un barrage ? 🏗️
Le barrage est le cas d’école du centre de poussée.
C’est justement parce que la résultante des forces de pression s’applique bas sur la paroi qu’un barrage doit être massif à sa base, et beaucoup plus fin à son sommet.
Pourquoi un barrage est-il plus épais en bas ?
La résultante des forces de pression exercées par l’eau retenue s’applique dans le tiers inférieur de l’ouvrage (en appliquant la règle des deux tiers depuis la surface, donc à un tiers de la base).
C’est là que l’effort mécanique est le plus important : la structure doit donc y être la plus résistante.
Le parc français de barrages
Selon le Commissariat général au développement durable (CGDD), la France comptait en 2017
barrages, dont :
Classe A
317 barrages
Classe B
324 barrages
Classe C
522 barrages
Le Comité français des barrages et réservoirs (CFBR) avance un ordre de grandeur différent, d’environ 200 barrages de classe A : les deux chiffres ne se recoupent pas exactement, mais retiennent le même principe de classement. Ce classement repose depuis le décret n° 2015-526 sur trois classes (A, B, C), déterminées par le critère :
Défini par le CFBR, où H est la hauteur du barrage et V le volume de la retenue en millions de m³. Un barrage de classe A a une hauteur d’au moins 20 m et un K supérieur ou égal à 1 500.
Pour une paroi verticale affleurante, le centre de poussée est aux 2/3 de la hauteur depuis la surface.
Sur un barrage, ça veut dire que la poussée maximale s'exerce dans le tiers inférieur de l'ouvrage : voilà pourquoi sa base est toujours la partie la plus massive.
L’exemple de Serre-Ponçon
Le barrage de Serre-Ponçon, exploité par EDF dans les Hautes-Alpes, mesure 123,5 m de hauteur et retient une réserve de 1 272 millions de m³ d’eau ; il a été mis en service en 1960, selon la fiche d’ouvrage du CFBR.
En appliquant la règle des deux tiers à cette hauteur d’eau, le centre de poussée se situerait aux alentours de
sous la surface libre : c’est une illustration calculée à partir de la règle générale, pas un chiffre publié tel quel par le CFBR.
Qu’est-ce que la poussée d’Archimède ? ⚖️
La poussée d’Archimède est une notion voisine, souvent confondue avec le centre de poussée, mais elle décrit un phénomène différent : celui d’un corps entièrement immergé, et non celui d’une paroi qui retient un fluide.
L’énoncé du principe d’Archimède
Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, appelée poussée, dirigée de bas en haut et égale au poids du volume de fluide déplacé.
C. Mauger et D. Chareyron, CultureSciencesPhysique, ENS de Lyon / DGESCO
Concrètement, cette poussée verticale dirigée vers le haut est ce qui permet à un glaçon de flotter, à un nageur de faire la planche, ou à un sous-marin de contrôler sa profondeur en jouant sur sa masse.
En France, on recensait en 2017
barrages, dont 317 de classe A (Source : CGDD, 2019)
Archimède ou centre de poussée : quelle différence ?
La poussée d’Archimède s’applique à un corps immergé qui déplace du fluide autour de lui : elle est toujours verticale, dirigée vers le haut, et son intensité dépend du volume déplacé. Le centre de poussée, lui, s’applique à une paroi qui retient un fluide d’un seul côté : sa direction dépend de l’orientation de la paroi, et sa position dépend de la répartition de la pression sur cette paroi.
Ce sont deux problèmes physiques distincts, qui partagent la même origine : la pression d’un fluide augmente avec la profondeur !
Pour aller plus loin sur les bases théoriques de ces deux notions, l’ouvrage de référence Hydrodynamique physique d’Étienne Guyon, Jean-Pierre Hulin et Luc Petit (EDP Sciences) reste une référence utilisée en licence et en classes préparatoires.
Le centre de poussée n’est donc jamais un point arbitraire : c’est la conséquence directe et calculable de l’augmentation de la pression avec la profondeur.
Retenir la règle des deux tiers pour une paroi verticale, et la distinction avec la poussée d’Archimède, permet de répondre à la quasi-totalité des exercices d’hydrostatique !
Pour aller plus loin : la viscosité, une autre notion clé de l’hydrostatique
La viscosité d’un fluide, sa résistance à l’écoulement, est une notion complémentaire souvent étudiée avec la pression et le centre de poussée. Quelques relations classiques de cette notion, issues des fiches historiques de cette page :
- La viscosité cinématique
νs'obtient en divisant la viscosité dynamiqueηpar la masse volumiqueρdu fluide :
- Conversion entre le poiseuille (unité SI) et la poise (ancienne unité CGS) pour la viscosité dynamique :
- Conversion entre le stokes (CGS) et le mètre carré par seconde (SI) pour la viscosité cinématique :
- Équivalence entre centistokes et mm²/s, complémentaire de la conversion précédente :
- La viscosité de volume s'exprime comme une fonction linéaire de la viscosité dynamique et de la seconde viscosité :
- La loi de Laplace relie pression et volume d'un gaz parfait lors d'une transformation adiabatique et réversible :
- Équation de la poussée d'Archimède → force égale au poids du volume de fluide déplacé :
| Fluide | Viscosité dynamique η | Comportement à l’écoulement |
|---|---|---|
| Air | 1,0×10⁻⁵ Pl | Résistance interne minime, turbulence facilement atteinte |
| Eau | 1,0×10⁻³ Pl | Référence courante des exercices et des conduites |
| Eau à 10 °C | 1,31×10⁻³ Pa·s | Plus visqueuse à froid, d’où ν = 1,31×10⁻⁶ m²·s⁻¹ |
| Glycérine | 1,4 Pl | Écoulement lent, régime laminaire quasi systématique |
Sources 📚
- Mauger, Cyril, et Delphine Chareyron. "Statique des fluides. Lois et exemples d'applications." CultureSciencesPhysique, ENS de Lyon / DGESCO, 2020, https://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/statique-fluides.xml.
- Unisciel. "Hydrostatique." Module Mécanique des fluides, Université des Sciences en Ligne, https://ressources.unisciel.fr/mecaflux/co/AC2-C3-Hydrostatique.html.
- Unisciel. "Force de pression sur une paroi plane verticale et rectangulaire." Module Mécanique des fluides, Université des Sciences en Ligne, https://ressources.unisciel.fr/mecaflux/co/Chap1_Exo1.html.
- IUT en ligne. "Pression dans les fluides : réservoir, centre de poussée." Réseau des IUT français, module Mécanique des fluides, https://www.iutenligne.net/rsc/rsc-public/mecanique/mecanique-des-fluides/courtin/pression-dans-les-fluides/co/Pression%20dans%20les%20fluides_47.html.
- Commissariat général au développement durable. "Le risque de rupture de barrage." notre-environnement.gouv.fr, Ministère de la Transition écologique, 2019, https://www.notre-environnement.gouv.fr/themes/risques/les-autres-risques-technologiques-ressources/article/le-risque-de-rupture-de-barrage.
- Comité français des barrages et réservoirs (CFBR). "Classes de barrages." barrages-cfbr.eu, https://www.barrages-cfbr.eu/Classes-de-barrages.html.
- Guyon, Étienne, Jean-Pierre Hulin, et Luc Petit. Hydrodynamique physique. 3e éd., EDP Sciences, 2012, ISBN 9782759808939, https://laboutique.edpsciences.fr/produit/595/9782759808939/hydrodynamique-physique.
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