Les courants de Foucault, quelques rappels
Les courants de Foucault sont des courants électriques qui se trouvent au centre d'une masse conductrice. Ces courants sont provoqués par la variation de champ magnétique extérieur qui traversent la masse ou par le déplacement de cette dernière au sein du champ.
Histoire des courants de Foucault
Ces phénomènes physiques sont notés ainsi du nom de Jean Bernard Léon Foucault. Ce physicien d'origine française, a vécu de 1819 à 1868. Récompensé par de nombreuses distinctions, c'est à lui que l'on doit l'invention du gyroscope. Il a aussi démontré que la Terre tourne sur elle même grâce au pendule de Foucault. Passionné d'astronomie, c'est aussi un domaine dans lequel il a beaucoup travaillé.
Explication de leur fonctionnement
Lorsqu'une masse conductrice est introduite dans un champ magnétique, une force électromotrice apparaît. C'est elle qui est à l'origine des courants dans la masse. Il se produit alors deux effets : la création d'un champ magnétique en opposition à la cause de variation du champ extérieur, ce qui est décrit par la loi de Lenz, et un échauffement, causé par l'effet Joule de la masse conductrice. Cet échauffement augmente plus la vitesse entre l'inducteur et la pièce conductrice est élevée. Ces deux effets causent alors de forces de Laplace qui s'opposent au déplacement de l'énergie.
Exercices sur les courants de Foucault
Exercice 1 : Le solénoïde
2 - Justifier l’hypothèse précédente en calculant le champ magnétique créé en O par ces courants.
Exercice 2 : Le pendule de Foucault
Depuis 1996, au Panthéon à Paris, on peut observer la reconstitution de l’expérience menée par Léon Foucault en 1851. Celle-ci avait permis de confirmer, sans observation du ciel, la rotation de la Terre sur elle-même. Une sphère en plomb, de 20 cm de diamètre, de masse 47 kg, est suspendue sous le dôme de l’édifice par un fil en acier très fin d’une longueur de 67 m. Le pendule ainsi constitué oscille librement. On constate qu’au cours de la journée le plan d’oscillation tourne lentement dans le sens des aiguilles d’une montre autour d’un axe vertical. La première partie traite des oscillations d’un pendule simple et la seconde du pendule de Foucault. Dans tout l’exercice, les amplitudes angulaires qmax des oscillations sont inférieures à 10°, soit 0,17 rad. On considère qu’on est dans le cadre des petites oscillations. Données :
- La valeur g du champ de pesanteur en un point à la surface de la Terre dépend de la latitude l du lieu, elle ne dépend pas de sa longitude ;
- Valeur du champ de pesanteur à Paris : gParis = 9,8 m.s-2 ;
- Période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique : TTerre = 24 h.
1. Période propre d’un pendule simple On appelle pendule simple un système constitué d’un fil inextensible de longueur L, dont une extrémité est fixée à un support et l’autre attachée à un objet quasi ponctuel de masse m. La masse du fil est négligeable par rapport à la masse de l’objet.
1.1. Étude dynamique Un pendule simple, constitué d’une petite sphère assimilée à un point B, de masse m = 50 g et d’un fil AB de longueur L = 2,0 m, est écarté de sa position d’équilibre d’un angle q0 inférieur à 10° puis lâché sans vitesse initiale (se reporter à LA FIGURE A3 DE L’ANNEXE). Le plan (O, i, k) contient la verticale AO passant par le point de suspension A et la position initiale B0 du point B. La position du point B peut être repérée par l’abscisse angulaire θ = (AO, AB) ou par ses coordonnées (x,z) dans le plan (O, i, k). 1.1.1 SUR LA FIGURE A3 DE L’ANNEXE, représenter sans souci d’échelle les forces qui s’exercent sur la sphère B pour un angle q Toutes les actions de l’air sont négligées. 1.1.2 L’application de la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre, considéré en première approche comme galiléen permet de montrer que le mouvement s’effectue bien dans le plan (xOz). a. Énoncer la deuxième loi de Newton sous la forme d’une phrase. b. Quels éléments permettent de justifier l’affirmation que le mouvement est plan ? Dans l’approximation des petites oscillations, l’application de la deuxième loi de Newton permet d’établir l’expression de x(t). On donne trois possibilités pour x(t) dans lesquelles K est une constante positive : (a) :
(b) :
(c) :
Le pendule étant lâché sans vitesse initiale à t = 0 d’un angle correspondant à LA FIGURE A3 DE L’ANNEXE, choisir l’expression qui vérifie les conditions initiales. 1.2. Étude de la période 1.2.1 On montre que la période propre du pendule simple a pour expression :
Vérifier l’homogénéité de l’expression par analyse dimensionnelle. 1.2.2 À partir du XVIIIème siècle, les horloges à balancier furent très utilisées pour mesurer le temps. a. On considère, à Paris, une horloge dont le balancier a une longueur L = 1,0 m. Le balancier d’une telle horloge est un pendule aux oscillations entretenues et de faible amplitude que l’on peut modéliser par un pendule simple. Calculer la période propre du balancier de cette horloge. b. Pourquoi dit-on que cette horloge « bat la seconde » ? c. Que penser des indications données par cette horloge dans un lieu de latitude différente de celle de Paris ? 2. Pendule de Foucault 2.1. Période du pendule Les dimensions précisées dans le texte d’introduction montrent que le pendule de Foucault installé au Panthéon peut être assimilé à un pendule simple. On filme le mouvement de ce pendule pendant quelques minutes, durée assez courte pour pouvoir négliger la rotation de son plan d’oscillation. Après traitement de la vidéo par un logiciel de relevés de positions, on trace la courbe représentant l’abscisse x du centre B de la sphère en fonction du temps. Cette courbe est reproduite sur la figure 3 ci-dessous. 
De nombreux pendules de Foucault ont été réalisés et placés en différents lieux sur la Terre. L’étude de leurs mouvements montre que la période de rotation du plan d’oscillation, notée t, dépend uniquement de la latitude l du lieu (voir les documents présentés AUX FIGURES A4 ET A5 DE L’ANNEXE). 2.3.1 Pour un observateur fixe dans le référentiel terrestre, le mouvement du pendule n’est pas plan. Cette observation est en désaccord avec l’application de la deuxième loi de Newton évoquée à la question 1.1.2. Que peut-on en conclure quant au référentiel terrestre choisi pour faire l’étude ? 2.3.2 Calculer, pour le pendule installé au Panthéon, la période de rotation du plan d’oscillation, notée t. Compléter la case vide du tableau DE LA FIGURE A4 DE L’ANNEXE. 2.3.3 Reporter le point correspondant sur le graphe
DE LA FIGURE A5 DE L’ANNEXE. En déduire une méthode pour déterminer, à l’aide d’un pendule de Foucault, la latitude d’un lieu. Dans la pratique, on utilise d’autres méthodes pour déterminer la latitude d’un lieu. 
Exercice 3 : Le super condensateur
Promis à un grand avenir, les super condensateurs sont des dispositifs de stockage de l’énergie, intermédiaires entre les accumulateurs électrochimiques et les condensateurs traditionnels. Leurs applications, qui n’en sont qu'à leurs débuts, touchent de nombreux domaines tant dans l'électronique de grande diffusion que dans l'électronique de puissance, notamment en ouvrant des perspectives intéressantes dans le domaine des véhicules hybrides. Au cours d’une séance de travaux pratiques, les élèves ont à déterminer la valeur de la capacité d’un condensateur par plusieurs méthodes.
1. Charge d’un condensateur à courant constant Une première méthode consiste à charger le condensateur à l’aide d’un générateur délivrant un courant d’intensité I constant, selon le montage suivant. 
2.5. La solution de cette équation différentielle est de la forme u(t) = E (1 – e-t/τ ) où t est la constante de temps du circuit. Montrer que pour t = 5τ , le condensateur est quasiment chargé. Le vérifier graphiquement. 3. Oscillations dans un circuit (R, L, C). Une autre solution pour déterminer la valeur de la capacité du condensateur est d’établir des oscillations électriques dans un circuit (R, L, C). Le condensateur, préalablement chargé sous une tension E = 5,0 V, est relié à une bobine d’inductance L = 1,0 H et de résistance r = 20 Ω, selon le schéma suivant : 
Exercice 4 : Les oscillations électriques dans la cuve à ondes
Pour étudier les ondes progressives sinusoïdales à la surface de l'eau, on utilise une cuve à ondes. Un vibreur permet de générer des ondes planes circulaires de fréquence N à la surface de l'eau. Les crêtes des vagues donnent des rides brillantes et les creux des rides sombres sur un écran que l'on photographie. Afin d'apprécier l'échelle, 2 marques A et B ont été faites sur l'écran qui correspondent à une distance AB = 7,0 cm dans la cuve.
- A) Étude du vibreur
La surface de l'eau est excitée par de l'air pulsé : les pulsations sont créées par une petite pompe. Leur fréquence peut être réglée de 10 à 40 Hz grâce à un oscillateur électrique entretenu. Les oscillations électriques peuvent être obtenues à l'aide d'un condensateur de capacité C= 30 µF relié à une bobine d'auto-inductance L et de résistance r. 1. A l'instant t = 0 s, on relie le condensateur portant la charge Q0 à la bobine. On peut, à l'aide d'une interface appropriée, visualiser uC(t) : tension aux bornes du condensateur, sur l'écran d'un ordinateur et on obtient la courbe n°1 (page 3 ). a) uC(t) est-elle une fonction périodique ? Comment qualifie-t-on un tel régime d'oscillations ? b) Calculer l'énergie E0 emmagasinée par le condensateur à l'instant t0 = 0 s. c) Calculer l'énergie E1 emmagasinée par le condensateur à l'instant t1 = 30 ms. d) Interpréter la variation de l'énergie entre les instants to et t1. e) Ce dispositif peut-il être utilisé pour créer les oscillations à la surface de l'eau ? 2. On désire entretenir les oscillations. a) Que signifie: "entretenir les oscillations" ? b) Pour ce faire, on introduit un montage équivalent à un dipôle D fournissant une puissance p = r i2 où r a la même valeur que la résistance de la bobine. Quel est le nouveau régime des oscillations ? c) Quelle est alors la forme de uC(t) ? Ce montage peut-il être utilisé pour générer des ondes sinusoïdales dans la cuve ? (justifier). 
2.2. On remplace la plaque P par une plaque P', on obtient la photo n° 4. Quel phénomène observe-t-on ? (On pourra se référer à des phénomènes lumineux abordés en seconde). 2.3.1. En eau très profonde, pour des vagues de basse fréquence, on peut démontrer que la célérité v des ondes ne dépend pratiquement plus de h. Elle varie alors proportionnellement à la période T suivant la loi :
Avec :
- g intensité de la pesanteur (g = 9,8 m s-2).
Calculer v1 et v2 pour les fréquences N1 = 5,0 Hz et N2 = 10 Hz, ainsi que les longueurs d'onde λ1 et λ2 correspondantes. 2.3.2. On excite sinusoïdalement un point S à partir de l'instant t = 0 s. On observe un point M à 10 m de S. A quel instant t1 le point M entre t-il en vibration si la fréquence excitatrice en S est N1 = 5 Hz ? Calculer de même l'instant t2 pour une fréquence N2 = 10 Hz. 2.3.3. En fait, on lance une pierre au point S ; l'ébranlement est supposé être constitué par la superposition d'ondes sinusoïdales de différentes fréquences allant de quelques Hertz à une dizaine de Hertz. Le point M (au centre des photos 5 et 6, page 4) est photographié à des instants différents. Donner, en le justifiant, l'ordre chronologique des deux prises de vue.
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