Chapitres
- 01. Rappel
- 02. Théorème de flux divergence
- 03. Exercices corrigés
Rappel
Pour rappel, en coordonnées scalaires, on définit les éléments suivants : gradient, divergence, rotationnel et Laplacien. Ces opérateurs sont construits à partir de l'opérateur Nabla noté 
On définit ainsi le gradient appliqué à un champ scalaire : 
Lorsqu'on effectue le produit scalaire entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel, on obtient la divergence en un champ scalaire : 
Lorsqu'on effectue le produit vectoriel entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel, on obtient le rotationnel : 
Enfin, il existe le laplacien scalaire et le laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire est l'application au champ scalaire du carré : 
Le laplacien vectoriel est l'application du laplacien scalaire à chacune des composantes du champ vectoriel : 
On peut résumer grossièrement l'ensemble des calculs du laplacien vectoriel dans l'image ci-dessous. Par ailleurs, en coordonnées cylindriques, l'ensemble de ces calculs diffèrent. On peut résumer l'ensemble des éléments de calcul, à savoir la divergence, lien le gradient, le rotationnel et le laplacien dans l'image ci-dessous.
Théorème de flux divergence
Le théorème de flux divergence également appelé le théorème de Green-Ostrogradski est un théorème mettant en évidence le lien entre l'intégrale de la divergence et le flux du champ : 
avec V étant le volume 
étant la frontière du volume 
étant le vecteur normal à la surface 
est dérivable en tout point du volume 
est l'opérateur nabla.
Exercices corrigés
Exercice
Exercice 1 : Calcul de gradient et divergence Pour chacune des coordonnées suivantes, déterminer les coordonnées du gradient de f où f est le champ scalaire suivant : 
Pour chacune des coordonnées suivantes, déterminer la divergence de f où f est le champ scalaire suivant : 
Exercice 2 : Calcul du rotationnel On sait qu'un champ de vecteur F dérive d'un potentiel scalaire s'il existe un champ scalaire f tel que F = grad(f). Démontrer que le champ suivant possède un rotationnel nul : 
défini sur 
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Corrigés
Exercice 1: 1. On calcul la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : 
D'où 
2. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : 
D'où 
3. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : 
D'où 
4. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : 
D'où 
5. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : 
D'où 
1'. On détermine la divergence de f : 
D'où 
2'. On détermine la divergence de f : 
D'où 
3'. On détermine la divergence de f : 
D'où 
4'. On détermine la divergence de f : 
D'où 
5'. On détermine la divergence de f : 
D'où 
Exercice 2 : Pour f de dans R, on a : 
,
et 
. On en déduit les valeurs de f en intégrant chacune des dérivées partielles : 
Les valeurs de h(y,z), h(x,z), h(x,y) sont des constantes. Pour chacune des dérivées partielles, les variables des autres valeurs sont par conséquent des constantes. Maintenant que l'on a calculé les intégrales des dérivées partielles, on peut calculer le rotationnel : 
Le rotation de F est donc nul.
A noter que le calcul du rotationnel est très utilisé en physique notamment pour calculer la valeur des champs électromagnétiques.
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