Chapitres
- 01. Exercice 1
- 02. Exercice 2
- 03. Exercice 3
Exercice 1
(cf. Cours sur les suites et les séries
numériques ; si \lim un+1/un < 1 alors la série
converge)
c)
(la somme dans l’intégrale = somme de k termes d’une suite
géométrique)
d) est une série
géométrique de raison q = e-2, donc = , q < 1, la série
est convergente ( cf. Cours Saïd, Série et suite Numérique, il vous faut
absolument le cours pour comprendre et faire les exos de TD, s’il vous plait,
chose que je la rappelle à chaque séance de TD) et converge vers
e) La suite est une suite
géométrique de raison et du premier terme 3. En effet, = de la forme un = u0 qn
(définition même d’une suite géométrique de raison q et de premier terme
u0.
La raison est > 1 donc (cf
cors Saïd) la série est divergente.
Exercice 2
1)RAPPELS
Pour majorer un
quotient de nombres positifs, on majore le numérateur, et on minore le
dénominateur
A est majorée s'il
existe un nombre réel M (indépendant de n) tel que quel
que soit x appartenant à A
On majore d'abord le
numérateur
On minore le
dénominateur (si possible) par un terme que l'on pourra simplifier avec le
numérateur
La suite est donc
majorée par M = 1/2
Donc le majorant
trouvé 1/2 est le plus petit de tous les majorants.
La suite est donc
minorée par m=0.
2) RAPPEL Si la suite est définie
de façon explicite sous la forme un+1 = f(un)
avec f continue sur
alors
f strictement croissante implique la suite est strictement
croissante
f strictement décroissante implique la suite est strictement décroissante.
a) On étudie la fonction f qui à x associe
On a donc
f est croissante.
La suite u est croissante.
b) On étudie la fonction g qui à x associe
donc g est décroissante.La suite v est décroissante.
Intéressé par un cours de math ?
Exercice 3
1.a: On sait
que pour a > 0 , on a : . Donc, pour n
entier naturel quelconque, on a:
La suite ( v ) est donc une suite géométrique de raison q=1/2 et de
premier terme
v
o = ln( Uuo) = ln(e) = 1.
b: L'expression de V n en
fonction de n est alors :.
Comme vn = ln( un ) , on peut écrire que . D'où l'expression
2.
a: On sait que si a et b sont > 0 , alors ln( ab )
= ln( a ) + ln( b ).
Donc, Pour la somme sn, on a :
| sn = | v0 + v1 + ..... + vn |
| = | ln(u0) + ln(u1) + ln(u2) + ..... +ln(un) |
| = | ln(u0 . u1 . u2 ....... un) |
| = | ln(pn) |
Donc, on a bien
b: sn est la somme des ( n +1)
premiers termes de la suite géométrique ( v ).
On sait alors que :
c: On en déduit alors que
3. Comme 0 < 1/2< 1 , on sait
que.
Donc la suite (s) converge vers 2. Et la suite ( p ) converge
vers e2.
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