Tu bloques sur une suite majorée et minorée et tu confonds encore majorant et maximum ? C’est la confusion la plus fréquente sur ce chapitre, et elle coûte cher : le premier peut très bien n’être atteint par aucun terme, alors que le second, lui, en fait forcément partie.
Ce guide est calibré pour la terminale, spécialité mathématiques : énoncés officiels, méthodes de démonstration, opérations sur les limites et un exercice type bac corrigé. C’est parti !
📘 C’est quoi un majorant ?
Un majorant d’une suite est un réel M tel que tous les termes lui sont inférieurs ou égaux, soit ∀ n ∈ ℕ, uₙ ≤ M. Une suite est majorée dès qu’elle admet au moins un majorant. Le mot clé est « tous » : un seul terme qui dépasse M disqualifie M.
L’université de Rennes formule la même idée sur un ensemble : m est un majorant de A si tout élément de A lui est inférieur ou égal, et A est majorée si elle admet au moins un majorant.
Avant d’écrire quoi que ce soit, demande-toi quel réel tu proposes comme plafond.
Ce nombre-là, ça s’exhibe : tu annonces M, puis tu prouves uₙ ≤ M pour tout n. Une copie qui affirme « elle est majorée » sans donner de M explicite ne vaut aucun point.
🔍 Un majorant n’est jamais unique
Si M convient, alors M + 1, M + 100 et n’importe quelle valeur plus grande conviennent aussi. Chercher « le » plafond n’a donc aucun sens : on en exhibe un, celui qui rend la démonstration la plus simple.
📐 Quelle est la définition du mot minorée ?
Une suite est minorée s’il existe un réel m tel que ∀ n ∈ ℕ, uₙ ≥ m. La symétrie avec le cas précédent est exacte, à « supérieur ou égal » près. C’est la définition 2.18 du cours d’analyse de l’université de Bordeaux.
Ce seuil n’est pas unique non plus : si m convient, alors m − 1 fonctionne également. Et le même piège t’attend de ce côté, puisque rien n’oblige un tel nombre à être atteint.
📦 Qu’est-ce qu’une suite bornée ?
Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, soit m ≤ uₙ ≤ M pour tout n. Bordeaux précise que cela « revient à dire » qu’il existe M tel que |uₙ| ≤ M : les deux formulations sont équivalentes, la seconde est plus rapide en exercice.
Passer par la valeur absolue t’évite deux inégalités séparées : montrer |uₙ| ≤ 5 encadre d’un coup tous les termes entre −5 et 5.
📈 Bornée ne veut pas dire croissante
Un encadrement n’impose aucune monotonie. uₙ = (−1)ⁿ oscille entre −1 et 1 sans jamais croître ni décroître, et elle reste pourtant parfaitement bornée. Réciproquement, une progression toujours croissante peut très bien filer vers l’infini, comme uₙ = n.
Retiens la formule : le premier mot dit où vont les termes, le second dit dans quel ordre ils se suivent. Les deux notions sont indépendantes.
⚠️ Bornée ne veut pas dire convergente
C’est le piège logique le plus coûteux du chapitre. Le cours de Bordeaux l’écrit en avertissement explicite : « Attention aux erreurs logiques ! La réciproque “Toute suite bornée est convergente” est fausse : en effet la suite a(n) = (−1)ⁿ ne converge pas. »
En revanche, la proposition 2.19 du même cours est vraie : toute suite convergente est bornée. La flèche ne fonctionne que dans ce sens, jamais dans l’autre. L’APMEP notait déjà en 2005 qu’une suite convergente « ne s’accompagne pas nécessairement de monotonie, contrairement à une intuition présente a priori chez beaucoup d’élèves ».
✅ Convergente donc bornée : toujours vrai (proposition 2.19).
❌ Bornée donc convergente : faux, et uₙ = (−1)ⁿ le prouve.
Conséquence utile en exercice : si tu montres qu’aucun encadrement n’existe, tu as prouvé du même coup l’absence de limite finie.
⚠️ Quelle est la différence entre un majorant et un maximum ?
Un majorant n’appartient pas nécessairement à l’ensemble qu’il majore, alors qu’un maximum en fait obligatoirement partie. Le maximum est donc un majorant qui est lui-même une valeur de l’ensemble.
🎯 Le contre-exemple qui tranche : l’intervalle ]0, 1[
L’université de Rennes le dit noir sur blanc : « On note qu’une partie majorée (resp. minorée) de ℝ n’a pas nécessairement de plus grand (resp. plus petit) élément, par exemple, ]0,1[. » L’intervalle ]0, 1[ est bien majoré par 1, mais 1 n’y appartient pas : cet intervalle n’a donc pas de plus grand élément.
Rennes ajoute que s’il existe un plus grand élément, alors il est unique et coïncide avec la borne supérieure. Quand ce maximum existe il n’y a donc aucune ambiguïté, mais rien ne garantit son existence.
🧮 Le même piège, vu sur un exemple concret
Bordeaux le montre sur uₙ = 1/n avec n ≥ 1 : majorée par 1, et cette borne est atteinte pour n = 1 ; minorée par 0, mais cette valeur n’est jamais atteinte. Un seul exemple, deux comportements opposés selon le côté.
Second exemple du même document : uₙ = (−1)ⁿ/n reste sous 1/2, seuil atteint en n = 2, et au-dessus de −1, atteint en n = 1. Ici les deux extrémités sont touchées : rien n’est automatique.
Le plus petit seuil possible pour 1/n
jamais atteint par aucun terme, quel que soit n (Université de Bordeaux, analyse, 2022)
📌 Et la borne supérieure dans tout ça ?
La borne supérieure, notée sup, est le plus petit des majorants. Rennes énonce le théorème : toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure. Elle existe donc toujours, sans être forcément atteinte ; et quand un maximum existe, il lui est égal.
La caractérisation séquentielle établie à Bordeaux explique pourquoi : on peut s’approcher du sup d’aussi près qu’on veut par des éléments de l’ensemble, ce qu’aucune valeur plus grande ne permet. Le raisonnement symétrique vaut pour inf, le plus grand des minorants.
📊 Croissante et majorée : le théorème de la limite monotone
Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée aussi. Le programme de spécialité de terminale l’écrit en toutes lettres : « Théorème admis : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge. » C’est ce résultat qui donne tout son intérêt au chapitre.
Attention à ce qu’il ne dit pas : il garantit l’existence de la limite, jamais sa valeur. Savoir qu’il y a convergence et savoir vers quoi elle se fait sont deux questions distinctes.
🤔 Pourquoi ton manuel dit-il « admis » ?
Parce que la démonstration repose sur la borne supérieure, un outil réservé aux études supérieures. Bordeaux la donne au théorème 2.31 : la limite vaut exactement ce sup. Ce n’est donc pas une facilité de manuel, mais un choix du texte officiel.
📖 Et si la suite croissante n’est pas majorée ?
Elle tend vers +∞. Le programme classe ce résultat parmi les démonstrations exigibles au baccalauréat, au même titre que la divergence vers +∞ d’une suite minorée par une suite divergeant elle-même vers +∞. Une expression qui ne cesse de croître n’a donc que deux destins : converger, ou partir vers l’infini.
💬 Ce que disent les chercheurs de cette notion
Deux chercheurs en didactique ont documenté pour le Cnesco la fragilité de ces acquis au moment de la transition vers le supérieur, et leur constat éclaire pourquoi tant d’élèves manipulent ces énoncés sans les avoir démontrés.
Des activités simples comme la justification de la variation d’une fonction affine, nécessitant majorations ou minorations, sont admises via les graphiques. Les étudiants arrivent dans le supérieur avec des connaissances relativement fragiles de ce point de vue-là.
Ghislaine Gueudet (CREAD, Université de Brest) et Fabrice Vandebrouck (LDAR, Université Paris Diderot), rapport Cnesco, 2019
🧭 Comment démontrer qu’une suite est majorée ?
Tu exhibes un réel M explicite, puis tu prouves uₙ ≤ M pour tout n. Trois méthodes couvrent la quasi-totalité des exercices du programme, à essayer dans cet ordre.
🔁 Méthode 1 : la récurrence
« Raisonner par récurrence pour établir une propriété d’une suite » figure parmi les capacités attendues du programme officiel. Le squelette ne varie jamais : initialisation, hypothèse, hérédité, conclusion. C’est le premier réflexe dès que l’énoncé donne une relation entre deux termes consécutifs.
Sur un exemple du type vₙ₊₁ = 2vₙ − 8, v₀ = 5, tu poses P(n) : vₙ = 8 − 3 × 2ⁿ, tu la vérifies pour n = 0, puis tu montres qu’elle se transmet d’un indice au suivant.
✏️ Méthode 2 : l’étude directe ou l’encadrement
Quand une formule explicite est donnée, tu travailles terme à terme. Sur wₙ = (2n + 3)/(n² + 9), tu augmentes le numérateur et diminues le dénominateur. L’encadrement uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ suit le même principe.
L’inégalité de Bernoulli (1 + a)ⁿ ≥ 1 + n × a sert de minoration classique, notamment pour montrer qu’une progression géométrique de raison qⁿ avec q > 1 échappe à tout plafond.
🎓 Méthode 3 : passer par la limite
Si tu sais déjà qu’il y a convergence, la proposition 2.19 conclut immédiatement. Ce raccourci prouve l’existence d’un encadrement sans en livrer les valeurs, ce qui suffit dans certaines questions.
L’implication ne se retourne jamais : elle sert à conclure sur l’encadrement, jamais sur la limite. En respectant ce sens unique, tu évites l’erreur la plus sanctionnée du chapitre.
📋 Les opérations sur les limites en 3 tableaux
Pour conclure sur une limite obtenue en combinant deux expressions, tu appliques les opérations inscrites au programme officiel. Les trois tableaux ci-dessous récapitulent somme, produit et quotient, en signalant les formes indéterminées qui imposent de transformer l’écriture avant tout calcul.
➕ Limite d’une somme
La seule case qui pose problème est (+∞) + (−∞), une forme indéterminée. Dans tous les autres cas, l’infini l’emporte sur le réel fini.
| lim uₙ | lim vₙ | lim (uₙ + vₙ) |
|---|---|---|
| ℓ | ℓ' | ℓ + ℓ' |
| ℓ | +∞ | +∞ |
| ℓ | −∞ | −∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ |
| −∞ | −∞ | −∞ |
| +∞ | −∞ | Forme indéterminée |
✖️ Limite d’un produit
La case critique est 0 × ∞, forme indéterminée. Partout ailleurs, le signe du résultat se déduit de la règle des signes.
| lim uₙ | lim vₙ | lim (uₙ × vₙ) |
|---|---|---|
| ℓ | ℓ' | ℓ × ℓ' |
| ℓ > 0 | +∞ | +∞ |
| ℓ < 0 | +∞ | −∞ |
| ℓ > 0 | −∞ | −∞ |
| ±∞ | ±∞ | Règle des signes |
| 0 | ±∞ | Forme indéterminée |
➗ Limite d’un quotient
Deux formes indéterminées sont à signaler ici : ∞/∞ et 0/0. Le cas ℓ/0 mérite lui aussi ton attention, puisque le résultat dépend du signe par lequel le dénominateur tend vers 0.
| lim uₙ | lim vₙ | lim (uₙ / vₙ) |
|---|---|---|
| ℓ | ℓ' ≠ 0 | ℓ / ℓ' |
| ℓ | ±∞ | 0 |
| ±∞ | ℓ' ≠ 0 | ±∞ selon la règle des signes |
| ℓ ≠ 0 | 0 | ±∞ selon le signe de vₙ |
| ±∞ | ±∞ | Forme indéterminée |
| 0 | 0 | Forme indéterminée |
✏️ Exercice type bac corrigé
Voici un exercice complet dans l’esprit du programme officiel, où tu enchaînes majoration, monotonie et théorème de la limite monotone. Une réserve d’eau contient 120 m³ au départ, et son volume évolue selon Vₙ₊₁ = 120 + 0,25 × Vₙ avec V₀ = 120. On pose la suite auxiliaire tₙ = 160 − Vₙ.
- Montrer que la suite (Vₙ) est majorée par 160,
- Étudier le sens de variation de (Vₙ),
- Montrer que (tₙ) est géométrique, en déduire la forme explicite de (Vₙ) puis sa limite.
✅ Le corrigé, question par question
Question 1. Par récurrence. Au rang 0, V₀ = 120 ≤ 160, donc la propriété est vraie. Si Vₙ ≤ 160, alors 0,25 × Vₙ ≤ 40, donc Vₙ₊₁ = 120 + 0,25 × Vₙ ≤ 160. La propriété est héréditaire, donc (Vₙ) est majorée par 160 pour tout n.
Question 2. Calcule la différence Vₙ₊₁ − Vₙ = 120 − 0,75 × Vₙ. Comme Vₙ ≤ 160, on obtient 0,75 × Vₙ ≤ 120, donc cette différence est positive ou nulle. La suite (Vₙ) est donc croissante.
Question 3. On a tₙ₊₁ = 160 − Vₙ₊₁ = 0,25 × (160 − Vₙ) = 0,25 × tₙ : la suite (tₙ) est géométrique de raison 0,25 et de premier terme t₀ = 160 − V₀ = 40. Sa forme explicite est donc tₙ = 40 × 0,25ⁿ, d’où Vₙ = 160 − 40 × 0,25ⁿ. Puisque 0 < 0,25 < 1, on a lim 0,25ⁿ = 0 (n → +∞), donc lim Vₙ = 160 (n → +∞).
Le théorème de la limite monotone permettait déjà de conclure dès les questions 1 et 2, avant même tout calcul : croissante et majorée, donc convergente. Le calcul explicite en livre ensuite la valeur, 160 m³.
📝 La rédaction attendue au bac
Respecte toujours le même ordre : exhiber le majorant, prouver la monotonie, citer le théorème avec son nom, conclure. Une convergence affirmée sans ce réel explicite ne rapporte aucun point, même si la réponse finale est juste.
Vérifie aussi la cohérence de tes indices. Si l’énoncé définit l’expression auxiliaire à partir de n = 0, tout ton corrigé doit s’y tenir : basculer de t₀ à t₁ en cours de route est une erreur classique qui fausse la forme explicite.
❓ FAQ sur les suites majorées et minorées
📘 Une suite bornée converge-t-elle toujours ?
Non. Avec uₙ = (−1)ⁿ, tous les termes restent compris entre −1 et 1, et pourtant il n’y a pas de limite : les valeurs alternent indéfiniment. Seule l’implication inverse est vraie, à savoir que toute suite convergente est bornée. L’université de Bordeaux signale explicitement cette erreur logique dans son cours d’analyse.
🎯 Une suite majorée est-elle forcément croissante ?
Non, les deux notions sont totalement indépendantes. Le premier mot dit où vont les termes, le second dit dans quel ordre ils se suivent. Une même expression peut rester sous un plafond en oscillant, y rester en décroissant, ou grimper sans limite.
📐 Le maximum d’une suite existe-t-il toujours si elle est majorée ?
Non. Avec uₙ = 1/n, tous les termes restent au-dessus de 0 sans jamais l’atteindre : il n’y a donc pas de plus petit élément. Une valeur extrême peut exister sans jamais être touchée, et c’est exactement ce qui sépare un minorant d’un minimum, ou un majorant d’un maximum.
🎓 À quel niveau apprend-on les suites majorées et minorées ?
En terminale, spécialité mathématiques. Le programme officiel précise qu’en première les suites sont abordées « sous un angle essentiellement algébrique » et qu’en classe terminale « on commence l’étude de la convergence ». La formalisation complète, avec les notions de sup et d’intervalle ouvert, relève ensuite des études post-bac.
Une suite majorée et minorée est bornée, et c’est tout ce que ce mot veut dire : rien de plus sur son sens de variation, rien de plus sur sa convergence. Garde en tête les deux réflexes qui font la différence en contrôle : un plafond s’exhibe et ne s’atteint pas forcément, et seule la combinaison croissante plus majorée te donne le droit de conclure à une limite. Si ces distinctions restent floues, des cours de maths à Toulouse peuvent te faire travailler la rédaction attendue au bac sur des exercices ciblés.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. Programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques, classe terminale de la voie générale. Arrêté du 19-7-2019, https://eduscol.education.gouv.fr.
- Haak, Bernhard. Cours d’analyse, licence de mathématiques (UE 4TPM209). Université de Bordeaux, Collège Sciences et Technologies, 2022, https://www.math.u-bordeaux.fr.
- Université de Rennes. "Borne supérieure et borne inférieure." Braise, base raisonnée d’exercices de mathématiques, https://braise.univ-rennes.fr.
- Gueudet, Ghislaine et Fabrice Vandebrouck. Entrée dans l’enseignement supérieur : éclairages en didactique des mathématiques. Cnesco, juillet 2019, https://www.cnesco.fr.
- APMEP. "Compte rendu de la réunion de la commission lycée des 4 et 5 juin 2005." Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public, 2005, https://www.apmep.fr.
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