Tu cherches les diviseurs de 84 pour un exercice, un contrôle ou une fraction à simplifier, et tu veux être sûr de n’en oublier aucun ? Bonne nouvelle : il y en a exactement douze, et une méthode très courte permet de les trouver tous en testant seulement les nombres de 1 à 9 !
Dans cette fiche, tu trouveras la liste des douze diviseurs, la méthode par appariement, les critères de divisibilité appliqués un par un à 84, la décomposition en facteurs premiers et les erreurs qui coûtent le plus de points. Un prolongement sur le PGCD, l’algorithme d’Euclide et les théorèmes de Bézout et de Gauss est proposé en fin d’article pour les élèves de terminale !
Quels sont les diviseurs de 84 ?
Le nombre 84 possède
diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Un diviseur de 84 est un nombre entier qui divise 84 sans laisser de reste, autrement dit qui donne une division exacte.
La liste complète des 12 diviseurs
La liste s’écrit en mathématiques sous forme d’ensemble :
Elle contient douze éléments, ni plus ni moins, et elle repose sur une seule écriture de départ, la décomposition84 = 2² × 3 × 7.
Cette valeur est confirmée par un cours universitaire indépendant, qui utilise justement 84 comme exemple : le chapitre consacré aux nombres premiers de l’université Toulouse III Paul Sabatier écrit 84 = 2² × 3¹ × 7¹.
Tu peux donc t’appuyer sur cette écriture les yeux fermés !
Apprends les six paires plutôt que les douze nombres : 1 et 84, 2 et 42, 3 et 28, 4 et 21, 6 et 14, 7 et 12.
Six paires font douze diviseurs, et chaque produit vaut bien 84 : tu vérifies ta liste en trois secondes !
Diviseur, multiple, divisible : le vocabulaire à ne plus confondre
Un nombre b est un diviseur de a s’il existe un entier k tel que a = b × k. Dire « 7 divise 84 », « 84 est divisible par 7 » et « 7 est un diviseur de 84 » revient exactement au même, puisque 84 = 7 × 12.
Attention au piège classique, celui qui fait perdre le plus de points : les nombres de la forme 3m, comme 6, 9, 12 ou 36, sont des multiples de 3 et non des diviseurs de 3 !
Le diviseur est le plus petit des deux, celui qui entre dans l’autre.
Le seul cas où un nombre est à la fois multiple et diviseur d’un autre, c’est lui-même !
Quand la division n’est pas exacte, on parle de division euclidienne et on écrit :
avec 0 ≤ r < b. Le programme de cinquième donne l’exemple 17 = 3 × 5 + 2 : ici le dividende est 17, le diviseur 3, le quotient 5 et le reste 2.
Retiens la règle de reconnaissance : un diviseur, c’est un reste égal à 0 !
Comment trouver tous les diviseurs de 84 sans en oublier ?
Tu testes les entiers dans l’ordre croissant à partir de 1, et à chaque fois que la division est exacte, tu notes deux diviseurs d’un coup : celui que tu testes et le quotient obtenu. Tu peux t’arrêter à 9, car √84 ≈ 9,17 et tous les diviseurs plus grands sont déjà apparus comme quotients !
La méthode par appariement
L’idée est simple : un diviseur ne vient jamais seul, il vient toujours avec son conjugué. Pour 84, cela donne :
Six produits, donc six paires, donc douze diviseurs ! Ce découpage te donne aussi un contrôle de cohérence gratuit. Comme 84 n’est pas un carré parfait, aucun diviseur n’est son propre conjugué, et le nombre total de diviseurs est forcément pair.
Si tu obtiens un compte impair, tu sais immédiatement que tu as oublié un nombre ou que tu en as compté un deux fois.
Le critère d’arrêt à la racine carrée
Inutile de tester 84 nombres : il suffit de tester les entiers de 1 jusqu’à √84 ≈ 9,17, donc de 1 à 9, puis de compléter chaque paire trouvée. Ce principe d’arrêt à p ≤ √n est celui qu’utilise le cours de l’université de Toulouse pour tester la primalité d’un entier, et il fonctionne exactement de la même façon pour lister des diviseurs.
Voici le déroulé complet des
essais, tel que tu peux le poser sur ta copie :
| Entier testé | Divise 84 ? | Quotient conjugué |
|---|---|---|
| 1 | Oui | 84 |
| 2 | Oui, 84 est pair | 42 |
| 3 | Oui, 8 + 4 = 12 | 28 |
| 4 | Oui, 84 / 2 = 42 est pair | 21 |
| 5 | Non, 84 ne finit ni par 0 ni par 5 | aucun |
| 6 | Oui, divisible par 2 et par 3 | 14 |
| 7 | Oui, 84 = 7 × 12 | 12 |
| 8 | Non, 84 / 4 = 21 est impair | aucun |
| 9 | Non, 8 + 4 = 12 n’est pas multiple de 9 | aucun |
Si un diviseur de 84 était supérieur à 9,17, son conjugué serait forcément inférieur à 9,17, sinon leur produit dépasserait 84.
Donc chaque grand diviseur est automatiquement trouvé au moment où tu testes le petit. Tester 1 à 9 au lieu de 1 à 84, c’est neuf divisions au lieu de quatre-vingt-quatre.
Combien de diviseurs, sans les compter un par un ?
Il existe une formule qui donne le nombre de diviseurs sans en écrire un seul. À partir de la décomposition en facteurs premiers, tu ajoutes 1 à chaque exposant puis tu multiplies :
Applique-la à 84 = 2² × 3 × 7, dont les exposants sont 2, 1 et 1 :
Tu retrouves les douze diviseurs annoncés, et tu disposes surtout d’un moyen de savoir combien il t’en manque avant même de finir la liste !
La justification est académique : le cours de l’université de Toulouse établit que les diviseurs de n sont précisément les produits de ses facteurs premiers affectés d’exposants compris entre 0 et l’exposant d’origine. Pour 84, tu as trois choix pour la puissance de 2, deux pour celle de 3 et deux pour celle de 7, soit bien 3 × 2 × 2 = 12 combinaisons.
Les critères de divisibilité appliqués à 84
84 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 7 et par leurs conjugués, mais il n’est divisible ni par 5, ni par 8, ni par 9, ni par 10. Les critères de divisibilité te permettent de trancher chaque cas de tête, sans poser la moindre division.
Divisible par 2 et par 4, mais pas par 5 ni par 10
84 se termine par 4, un chiffre pair : il est donc divisible par 2, et 84 / 2 = 42.
Pour le critère par 4, regarde si la moitié est paire : 42 est pair, donc 84 est bien divisible par 4, avec 84 / 4 = 21.
En revanche, un nombre divisible par 5 finit par 0 ou par 5, et un nombre divisible par 10 finit systématiquement par 0. Comme 84 finit par 4, ces deux critères tombent immédiatement !
Ces critères par 2, 5 et 10 sont acquis en CM1 et CM2, puis réactivés comme automatismes en cinquième d’après le programme de mathématiques du cycle 4.
Divisible par 3, mais pas par 9
Additionne les chiffres : 8 + 4 = 12. Comme 12 est un multiple de 3, le nombre 84 est divisible par 3, et 84 / 3 = 28.
Mais 12 n’est pas un multiple de 9, donc 84 ne l’est pas non plus : c’est l’erreur la plus fréquente sur ce nombre.
Ces deux critères sont explicitement inscrits au programme de cinquième (programme de mathématiques du cycle 4, 2026), dans les objectifs « utiliser les notions de multiples et diviseurs » et « connaitre les critères de divisibilité par 3 et par 9 ».
En troisième, les automatismes demandent d’appliquer les critères par 2, 3, 5 et 9 sur un nombre donné, celui de 84 compris.
Ces critères ne se valent pas tous en difficulté, et les enseignants le savent bien. Dans une activité de classe diffusée par l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP), la progression est explicitement graduée :
En direction des élèves les plus faibles, l’enseignant peut poser des questions plus simples telles que la divisibilité par 2, 5 et 10.
Aurélia Medecin, activité « Qui est-ce ? Critères de divisibilité », APMEP, 2016
Autrement dit, commence par 2, 5 et 10, qui se lisent sur le dernier chiffre, puis passe à 3 et 9, qui demandent une somme de chiffres, et garde 4 et 8 pour la fin, puisqu’ils exigent un calcul intermédiaire.
La décomposition de 84 en facteurs premiers
La décomposition de 84 en produit de facteurs premiers s’écrit :
Tu l’obtiens en divisant par les nombres premiers dans l’ordre croissant, tant que la division reste exacte, jusqu’à tomber sur 1.
Les divisions successives, pas à pas
Voici le déroulé, à reproduire sur n’importe quel entier :
Tu divises par 2 tant que c’est possible
84 / 2 = 42, puis 42 / 2 = 21
21 est impair, tu passes à 3 :
21 / 3 = 7
7 n’est ni divisible par 3 ni par 5, tu passes à 7 :
7 / 7 = 1
Tu t’arrêtes à 1 et tu rassembles les facteurs utilisés :
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
Cette méthode est exactement celle du programme de mathématiques du cycle 4 (2026). L’exemple officiel donné aux élèves de troisième est 60 = 2² × 3 × 5, structurellement identique à celui de 84 : deux facteurs 2, un facteur 3, un dernier facteur premier. Si tu sais faire l’un, tu sais faire l’autre !
Pourquoi cette écriture est unique
Un entier naturel est premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.
C’est pour cette raison que 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur positif. Et 84 n’est pas premier non plus, puisqu’il en a douze !
Le théorème de décomposition en facteurs premiers garantit que pour tout entier n ≥ 2, cette écriture existe et qu’elle est unique à l’ordre des facteurs près.
Tu peux écrire 84 = 7 × 3 × 2² ou 84 = 2² × 3 × 7, ce sera la même décomposition : il n’y a pas de seconde solution à trouver, ce qui rend le résultat totalement vérifiable.
La progression officielle est étalée sur le collège d’après les repères annuels de progression du cycle 4 (Éduscol, 2019) : en cinquième, les élèves se familiarisent avec les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30, en quatrième avec ceux inférieurs ou égaux à 100, qu’ils utilisent pour décomposer des nombres et simplifier des fractions. Pour 84, les nombres premiers de la première liste suffisent largement.
À quoi servent les diviseurs d’un nombre ?
Les diviseurs servent d’abord à simplifier des fractions et à organiser des partages en parts égales. C’est le premier usage concret que tu croiseras en classe, et celui qui revient le plus souvent dans les exercices de troisième.
Prends la fraction 84/60. Les deux nombres ont 12 comme plus grand diviseur commun, donc 84/60 = 7/5 après division du numérateur et du dénominateur par 12.
Comme 7 et 5 n’ont plus aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible, une notion introduite en troisième.
Second usage, très visuel : les partages. Un lot de 84 objets se répartit en parts égales de dix façons différentes autres que le tout et l’unité, soit en 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28 ou 42 parts.
Chaque diviseur correspond à un partage possible, et chaque partage impossible correspond à un nombre qui n’est pas dans la liste. Si tu veux t’entraîner sur d’autres nombres, un professeur particulier peut te faire travailler ces automatismes en cours de maths !
Pourquoi ces notions sont évaluées dès la 5e
Les critères de divisibilité et les diviseurs font partie des automatismes testés nationalement à l’entrée en cinquième. Ce n’est donc pas un chapitre annexe : c’est une compétence mesurée sur l’ensemble des élèves de France.
Que mesure l’évaluation nationale de cinquième ?
Entre le 8 septembre et le 3 octobre 2025, chaque élève de cinquième a passé une évaluation nationale de français et de mathématiques, qui concernait pour la première fois tous les établissements du secteur public et du secteur privé sous contrat. Le test d’automatismes comporte 30 questions relevant des domaines « nombres et calculs » et « grandeurs et mesures ».
Le test d’automatismes de cinquième compte
questions, dont les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10 (source : DEPP, évaluation nationale de cinquième, septembre 2025).
Parmi les compétences évaluées figurent explicitement « connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10 » et « connaitre les multiples de 25 et de 50, les diviseurs de 100 ». Les seuils de maitrise publiés par la Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP) sont clairs :
9 réponses correctes ou moins
Classent l’élève dans le groupe à besoins
10 à 17
Dans le groupe fragile
18 ou plus
Dans le groupe satisfaisant
Autrement dit, savoir trancher rapidement si 84 est divisible par 3 ou par 9 pèse directement sur ton groupe de niveau.
Quel programme s’applique, et à partir de quand ?
Les programmes de mathématiques du cycle 4 sont fixés par l’arrêté du 18 février 2026 et s’appliquent de façon échelonnée, année par année. Le calendrier officiel est le suivant :
| Classe | Rentrée d’application | Notions de divisibilité concernées |
|---|---|---|
| Cinquième | 2026-2027 | Multiples et diviseurs, critères par 3 et 9, division euclidienne, nombres premiers jusqu’à 30 |
| Quatrième | 2027-2028 | Nombres premiers jusqu’à 100, décomposition, simplification de fractions |
| Troisième | 2028-2029 | Factoriser un entier, critères par 2, 3, 5 et 9, fraction irréductible |
Ce que ce tableau montre, c’est que tout le contenu utile pour trouver les diviseurs de 84 se joue entre la cinquième et la troisième. Rien de plus n’est exigé au collège !
Prolongement terminale : PGCD, Euclide, Bézout et Gauss
Cette partie va au-delà du collège : le PGCD, l’algorithme d’Euclide et les théorèmes de Bézout et de Gauss relèvent de l’enseignement optionnel de mathématiques expertes en terminale. Si tu es au collège, tu peux t’arrêter à la section précédente sans rien perdre !
Le PGCD et les diviseurs communs
Les diviseurs communs à deux entiers sont simplement les nombres qui apparaissent dans les deux listes de diviseurs, et le PGCD est le plus grand d’entre eux.
Avec les décompositions, le calcul devient mécanique :
en gardant les facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant, et PPCM(24, 84) = 168.
Deux autres valeurs utiles s’obtiennent de la même façon !
En comparant les listes de diviseurs de 48 et de 84, dont les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, on trouve PGCD(48, 84) = 12. Et pour la simplification vue plus haut :
puisque 60 = 2² × 3 × 5partage avec 84 les facteurs 2² × 3.
L’algorithme d’Euclide
L’algorithme d’Euclide enchaîne des divisions euclidiennes jusqu’à obtenir un reste nul, et le PGCD est le dernier reste non nul. Chaque étape s’écrit sous la forme a = b × q + r avec 0 ≤ r < b, et le couple traité devient ensuite (b, r).
Sur 84 et 48, cela donne
lignes :
84 = 48 × 1 + 36
48 = 36 × 1 + 12
36 = 12 × 3 + 0
Le dernier reste non nul est 12, donc PGCD(84, 48) = 12, ce qui confirme le résultat obtenu par comparaison des listes. C’est un excellent réflexe de contrôle si tu prépares le bac en cours de maths seconde ou au-delà !
Bézout, Gauss et congruences
Deux entiers sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1, et le théorème de Bézout traduit cette propriété par l’existence de deux entiers u et v tels que :
Le théorème de Gauss, lui, énonce que si a divise b × c et que a est premier avec b, alors a divise c. Ces contenus, ainsi que les congruences notées a ≡ b [n], figurent au programme de mathématiques expertes de terminale, qui liste la divisibilité dans Z, la division euclidienne, le PGCD et l’algorithme d’Euclide, le théorème de Bézout et celui de Gauss.
Un point mérite d’être dit clairement, parce que beaucoup de fiches en ligne l’ignorent : ni le PGCD, ni Bézout, ni les congruences n’apparaissent dans le programme de cycle 4. Si tu es en cinquième, en quatrième ou en troisième, personne ne te demandera de les connaître pour trouver les diviseurs de 84 !
Et si tu veux prendre de l’avance sur cette partie, mieux vaut le faire accompagné, en cours de maths terminale.
Les erreurs fréquentes sur les diviseurs de 84
Au total, on peut dire que
erreurs reviennent systématiquement sur ce type d’exercice, et elles coûtent chacune un point ou deux.
Les voici, avec la vérification qui les élimine :
Oublier 1 et 84 eux-mêmes
Qui sont bien des diviseurs de 84 puisque 84 = 1 × 84
Confondre multiple et diviseur
Et écrire par exemple que 168 est un diviseur de 84 alors qu’il en est un multiple
Croire que 84 est divisible par 8
Alors que 84 / 4 = 21 est impair
Croire que 84 est divisible par 9
Alors que 8 + 4 = 12 n’est pas un multiple de 9
Tester tous les entiers jusqu’à 84 au lieu de s’arrêter à 9
Ce qui fait perdre un temps précieux en contrôle !
Retiens l’essentiel :
Douze diviseurs qui découlent tous de 84 = 2² × 3 × 7.
La méthode se résume à
gestes :
Tester
Les entiers de 1 à 9
Noter
Chaque paire trouvée
Contrôler
Le total avec la formule sur les exposants
Entraîne-toi sur 60, 90 et 100, et tu appliqueras ces réflexes sans réfléchir le jour du contrôle !
Sources 📚
- Légifrance. Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes d’enseignement de français et de mathématiques du cycle 4. Journal officiel de la République française, 2026, https://www.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000053613385.
- Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP). Évaluation nationale, classe de cinquième, mathématiques. Présentation des exercices et des compétences évaluées. Septembre 2025, https://eduscol.education.gouv.fr/sites/default/files/document/25eva5docpromapdf-113226.pdf.
- Conseil supérieur des programmes. Mathématiques expertes, classe terminale, enseignement optionnel, voie générale. 2019, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Mathématiques expertes-236082.pdf.
- Medecin, Aurélia. Qui est-ce ? Critères de divisibilité. Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP), 2016, https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Qui_est-ce-divisibilite.pdf.
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