En 1990, Monsieur Dufisc a fait sa première déclaration d'impôt sur le revenu : il a déclaré un revenu annuel de 90 000 francs, l'impôt correspondant s'est élevé à 8 000 francs et son revenu après impôt a donc été de 82 000 francs.
Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté de 2% et l'impôt correspondant a augmenté de 3%.
Monsieur Dufisc souhaite étudier ce qu'il adviendrait de son revenu après paiement de l'impôt si l'évolution constatée se poursuivait.
Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit et, pour tout entier n positif ou nul, on note:
*Rn le montant, exprimé en francs, du revenu annuel de Monsieur Dufisc en l'an (1990 + n)
*In le montant, exprimé en francs, de l'impôt correspondant
*Un = Rn - In, le revenu après impôt.
(R0 = 90 000, I0 = 8 000, U0 = 82 000)
1. a) Calculer R1, I1, U1, R2, I2, U2.
b) Montrer que, pour tout entier positif n, on a :
Rn = 90 000 × (1,02)n
In = 8 000 × (1,03)n
2. a) Montrer que, pour tout entier positif n, Un+1 - Un = 1 800 × (1,02)n - 240 × (1,03)n.
b) Montrer que : Un+1 < Un équivaut à.
c) Déterminer les entiers positifs n qui vérifient.
3. Si l'évolution que Monsieur Dufisc a constatée concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit, Monsieur Dufisc verra-t-il son revenu après l'impôt diminuer ?

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !