Chapitres
- 01. PROBLEME
- 02. CORRECTION DU PROBLEME
PROBLEME
Pour tout réel k strictement
positif, on considère la fonction fk définie sur [0 ;
+∞[ par
fk(x) = ln (eX +
kx) – x.
Soit Ck la courbe
représentative de la fonction fk dans le plan muni
d'un repère orthogonal (0 ; i ; j). (unités graphiques:
5 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées).
Étude préliminaire - Mise
en place d'une inégalité
On considère la fonction g
définie sur [0 ; +∞[
par g(x) = ln (1 + x) – x.
1. Étudier le sens de variation
de g.
2. En déduire que pour tout réel
a positif ou nul, ln (1 + a) ≤ a.
Partie A - Étude de la fonction
f1 définie sur [0 ; +∞[
par f1(x)= ln (ex+x) - x
1. Calculer f1'(x) pour tout
réel x appartenant à l'intervalle [0 ; +∞[
et en déduire le sens de variation de la fonction f1.
2. Montrer que pour tout réel x
appartenant à l'intervalle [0 ; +∞[
f1(x)= ln(1 + x/ex)
En déduire la limite de f1
en +∞.
3. Dresser le tableau de variation de
f1.
Partie B - Étude et propriétés
des fonctions fk
1. Calculer fk'(x) pour tout
réel x appartenant à l'intervalle [0 ; +∞[
et en déduire le sens de variation de la fonction fk.
2. Montrer que pour tout réel x
appartenant à l'intervalle [0 ; +∞[
fk(x) = ln (1 + k.x / eX).
En déduire la limite de fk
en +∞.
3. a. Dresser le tableau de variation
de fk.
b. Montrer que pour tout réel x
de l'intervalle [0 ; +∞[ , on
a fk(x) ≤ k / e
4. Déterminer une équation
de la tangente Tk à Ck au point O.
5. Soit p et m deux réels
strictement positifs tels que p < m. Étudier la position
relative de Cp et Cm.
6. Tracer les courbes C1 et
C2 ainsi que leurs tangentes respectives T1 et
T2 en O.
Partie C - Majoration d'une intégrale
Soit λ
un réel strictement positif, on note A(λ)
l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité
par l'axe des abscisses, la courbe Ck et les droites
d'équation x = 0 et x = λ.
1. Sans calculer A(λ),
montrer que (on pourra utiliser le résultat de la résultat
de la question préliminaire).
2. Calculer à l'aide d'une
intégration par parties l'intégrale .
3. On admet que A(λ)
admet une limite en +∞.
Montrer que \lim A(λ) ≤
k quand λ tend vers +∞.
Interpréter graphiquement ce
résultat (cours de math 3eme).
CORRECTION DU PROBLEME
Étude préliminaire
Soit g la fonction définie sur
[0 ; +∞[ par :
g(x) = ln (1 + x) – x
1. La fonction g est dérivable
sur [0 ; +∞[ et pour
tout x de [0 ; +∞[ :
g'(x) = 1 / (1 + x) – 1
= - x / (1 + x)
On a donc g'(x) ≤
0 pour tout x ≥ 0 : la
fonction g est décroissante sur [0 ; +∞[
.
2. On remarque que g(0) = ln 1 - 0 = 0
; comme g décroît, on en déduit que, pour tout a
≥ 0, g(a) ≤
0.
Cette dernière inégalité
équivaut à ln(1 + a) ≤
a .
On a, pour tout a ≥
0 , ln (1 + a) ≤ a
Partie A - Étude de la
fonction f1 définie sur [0 ; +∞[
par f1(x) = ln (ex+x) – x
1. La fonction fl est
dérivable sur [0 ; +∞[
et :
fl'(x) = (ex
+ 1) / (ex + x) – 1 soit fl'(x) =
(1 – x) / (ex + x)
Le dénominateur est positif,
donc fl'(x) a le signe de 1 - x : fl'(x)
s'annule en 1;
fl'(x)>0 si x<1 et
fl'(x) < 0 si x>1.
La fonction f1 est donc
strictement croissante sur [0 ; 1] et strictement décroissante
sur [1 ; +∞[ .
2. Pour tout x ≥
0, on peut écrire x = ln (ex) et donc:
fl(x) = ln (ex
+ x) - ln (ex) = ln ((ex + x) / ex)
= ln (1 + x/ex)
On sait que \lim x/ex = 0
quanx x tend vers +∞
(croissance comparée de x et ex).
On en déduit que \lim f1
= ln 1 =0 quand x tend vers +∞.
3. Des questions 1. et 2. on déduit
le tableau de variation de f1
.
On précise f1
(0) = 0 , f1'(0)
= 1 et f1(1) = ln
(1 + e) – 1.
Partie B - Étude des
fonctions fk définie sur [0; +∞[
par fk(x) = ln (ex+kx) – x, pour k > 0
1. fk est définie et
dérivable sur [0 ; +∞[
et :
Le signe de f'k(x) est
encore celui de 1 - x ; le sens de variation de fk est le
même que celui de f1 : elle croît sur [0 ;
1] et décroît sur [1 ; +∞[
.
2. Comme dans A.2., on écrit :
x = ln(eX) et fk(x)
= ln (ex + kx) - ln (eX) = ln ((ex +
kx) / ex) = ln (1 + kx / ex).
Puisque \lim x / ex = 0 quand
x tend vers +∞, on
trouve \lim fk = ln 1 = 0 quand x tend vers +∞.
3. a. On calcule fk(0) = 0,
f'k (0) = k et fk(l) = ln (e + k) – 1.
b. Le maximum de fk est égal
à fk(l) = ln (e + k) -1.
On transforme cette expression:
fk( 1) = ln (e
+ k) - ln (e) = ln ((e + k)/e) = ln (1 + k/e) .
On en déduit d'après le
préliminaire que fk(1) ≤
k/e.
Ainsi, on a pour tout réel x ≥
0, fk(x) ≤
k/e.
4. Soit Ck la courbe
représentative de fk.
Puisque fk(0) = 0 et fk'
(0) = k , une équation de la tangente Tk à
Ck en 0 est : y = kx.
5. Soit p et m deux réels
strictement positifs, avec p < m. Pour étudier la position
relative de Cm et Cp, on étudie le signe
de fp(x) - fm(x) = ln(eX + px) - ln
(eX + mx) , pour x ≥
0.
Puisque p < m , on a pour x > 0,
eX + px < eX + mx et ln (eX + px)
< ln (eX + mx) , par stricte croissance de la fonction
ln.
On en déduit que fp(x)
- fm(x) < 0 pour x > 0 ; par ailleurs fp(0)
= fm(0) = 0 .
Conclusion: Cm est au-dessus
de Cp ; les deux courbes se coupent en O.
6. On trace C1 et C2
dans le même repère (unité graphique: 5 cm sur
l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées).
C1 et C2 ont des
tangentes horizontales aux points d'abscisse 1 ; on note que:
f1(1) = ln (e +
1) -1 ≈ 0,31 et
f2(1) = ln (e + 2) -1 ≈
0,55.
En 0 leurs tangentes ont pour pentes
respectives 1 et 2.
Partie C
1. La fonction fk est
positive sur [0 ; +∞[.
On a donc A(λ)
= ∫0 λ
fk(x)dx.
Il résulte de la question B.2.
que, pour tout x de [0; +∞[,
fk (x) = ln (1 + kx/ex).
En utilisant l'inégalité
démontrée dans le préliminaire, on en déduit
que:
fk (x) ≤
(kx) / ex
c'est-à-dire :
fk (x) ≤
kxe-x
Par positivité de l'intégrale
et λ>0,
on en déduit que:
2. On calcule ∫0
λ xe-xdx.
en intégrant par parties.
On pose :
u(x) = x, u'(x) = 1 ;
v'(x) = e-x
v(x) = -e-x;
Ces fonctions étant continues
sur [0; λ],
on obtient, par la formule d'intégration par parties :
3. On admet que A( λ)
admet une limite en +∞.
On
a d'après ce qui précède, A( λ)
≤ k[- λe- λ – e- λ +1].
On
sait que \lim e- λ = \lim λe- λ = 0 quand λ
tend vers +∞.
On
en déduit que \lim k[- λe-
λ - e- λ + 1] = k quand λ tend vers +∞.
Par
passage à la limite dans l'inégalité obtenue, on
trouve :
lim
A( λ) ≤ k quand λ tend vers
+∞.
Cette
limite représente l'aire du plan limitée par Ck et
l'axe des absisses. Cette aire est finie; plus précisémment
elle est majorée par k (cours de math).
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mercie
exercice complet ; )
permet de bien reviser ! à fr absolument
Impressionant!