Chapitres
- 01. Exercice 1
- 02. Exercice 2
- 03. Exercice 3
- 04. Exercice 4
- 05. Exercice 5
- 06. Correction de l’exercice 1
- 07. Correction de l'exercice 4
- 08. Correction de l'exercice 5
- 09. Correction de l'exercice 6
Exercice 1
Soit z = 1 + 2i et z’ = i – 2.
Calculer et écrire sous forme
algébrique : z + z’, z – z, zz’ et z².
Exercice 2
Placer dans le plan complexe les points
suivants :
z1
= 1 + 3i
z2
= i
z3 = 3 – 2i
z4 = -2 – 2i
Exercice 3
Déduire la forme algébrique
des nombres suivants :
a. 1 / (1 + i)
b. 1 / (3 – i)
Exercice 4
Posons z = 1 + 2i et z' = 1 – 3i.
Calculer
Exercice 5
On considère les deux nombres complexes suivants :
z1
= eiπ/4 et z2
= e-iπ/3
a.
Déterminer la forme algébrique de z1 et de
z2.
b.
Déterminer les écritures sous forme algébrique,
exponentielle, et trigonométrique de z1z2.
c.
En déduire la valeur exacte du sinus et du cosinus suivant :
cos
π/12 et sin π/12
Exercice 6
Résoudre
dans CxC le système suivant :
u
+ v = -1/2
uv
= -1/4
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Correction de l’exercice 1
z
+ z’ = 1 + 2i + i – 2 = 3i – 1
z – z’ = 1 + 2i – i
+ 2 = i + 3
zz’ = (1 + 2i) * (i –
2) = i – 2 – 2 – 4i = - 3i – 4
z² = (1 + 2i)²
= 1² + 2*2i + (2i)² = 1 + 4i – 4 = 4i – 3
Correction de l'exercice 3
a.
On a (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 2
Donc
1 – i = 2 / (1 + i), c'est à dire (1 – i) / 2 = 1 / (1 +
i).
Par
conséquent, la forme algébrique de 1 / (1 + i) est ½
– 1/2i.
b.
(3 – i)(3 + i) = 3² – i² = 10
Donc
3 + i = 10 / (3 – i), c'est à dire (3 + i) / 10 = 1 / (3 –
i).
Par
conséquent, la forme algébrique de 1 / (3 – i) est
3/10 + i/10.
Correction de l'exercice 4
Posons z = 1 + 2i et z' = 1 – 3i.
Correction de l'exercice 5
On
considère les deux nombres complexes suivants :
z1
= eiπ/4 et z2
= e-iπ/3
a.
Forme algébrique de z1 et z2 :
On
a :
z1
= eiπ/4 = √2/2
+ i√2/2
z2
= e-iπ/3 = 1/2 - i√3/2
b.
Forme algébrique de z1z2 :
z1z2
= (√2/2 + i√2/2)(1/2 –
i√3/2) = ((√2 + i√2)(1 –
i√3)) / 4
z1z2
= (√2 – i√6 + i√2 +√6) / 4 = ((√2+√6) – i(√6
+ √2)) / 4
Forme
exponentielle de z1z2 :
z1z2
= eiπ/4e-iπ/3
= eiπ/12
Forme
trigonométrique de z1z2 :
z1z2
= cos π/12 + i sin π/12
c.
On a alors :
cos
π/12 = (√2+√6)
/ 4
sin
π/12 = (√6
+ √2) / 4
Correction de l'exercice 6
u
+ v = -1/2
uv
= -1/4
Procédons
par substitution :
v
= -u – 1/2
On
remplace dans la seconde équation :
u(-u
– ½) = -1/4
4u²
+ 2u = 1
Ce
qui nous ramène à l'équation du second degré
suivante :
4u²
+ 2u – 1 = 0
Calcul
du discriminant :
Δ = 4 + 16 = 20
Par
conséquent, il y a deux racines distinctes :
(-2
- 2√5) / 8 = (-1 - √5) / 4
et
(-1
+ √5) / 4
On
cherche ensuite v.
On
obtient pour finir deux couples de solutions :
{
(-1 - √5) / 4, (-1 + √5) / 4} et {(-1 + √5) / 4, (-1 - √5) /
4}.
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Pour exp(i*pi/4) ça s’explique facilement, exp(i*teta) = cos(teta) + isin(teta) ça c’est le cours donc ici on a exp(i*pi/4) = cos(pi/4) + isin(pi/4) or cos(pi/4) = racine2/2 et sin(pi/4) = racine2/2 également, ça tu peux le retrouver avec un cercle trigo ;) donc à la fin tu as racine2/2 + i*racine2/2
bonjour pouvez vous m’expliquer la forme algébrique sur le corrigé de l’exercice 5.
j’ai du mal à comprendre l’exponentielle
comment on est passé de ei pi /4 à racine 2/2 +iracine2/2
merci d’avance
merci beaucoup et bon courage
Il y avait bien un signe – en trop dans un ligne, mais l’équation et le résultat sont bien justes.
Vérifie si tu trouves bien la même équation en refaisant le calcul.
Bonjour,je pense que dans le corrigé de l’exercice 6 il y 2 erreurs.
Je pense que quand on remplace dans la 2nde eqation on devrait avoir:4u²-2u=-1 et non 4u²+2u=-1
Et encore apres on arrive a cette equation du 2nd degré:
4u²-2u+1=0 et non:4u²+2u-1=0.Si je vois juste,tout ceci est trees perturbant surtout quand on est deja paq a l’aise en math!
Merci