Chapitres
- 01. Rappel de la définition
- 02. Exercice 1
- 03. Exercice 2
- 04. Exercice 3
- 05. Exercice 4
- 06. Correction de l'exercice 1
- 07. Correction de l'exercice 2
- 08. Correction de l'exercice 3
- 09. Correction de l'exercice 4
Rappel de la définition
Soit a et b deux entiers naturels non
nuls. L'ensemble des multiples positifs communs à a et b admet
un plus petit élément appellé «plus petit
commun multiple à a et b», noté ppcm(a ; b).
Exercice 1
Ecrire l'ensemble des multiples de a et
b, puis en déduire ppcm(a ; b).
a. a = 15 et b = 10
b. a = 24 et b = 6
c. a = 30 et b = 12
Exercice 2
Pour chacun des couples a et b,
calculer pgcd(a ; b), puis en déduire ppcm(a ; b).
a. a = 42 et b = 184
b. a = 56 et b = 1716
Exercice 3
Déterminer les couples d'entiers
naturels tel que :
ppcm(a ; b) = 1680
ab = 70560
Exercice 4
Déterminer le ppcm des couples
suivants :
a. a = 13 et b = 22
b. a = 10 et b = 60
c. a = 5*102 et b = 3*102
Correction de l'exercice 1
a. a = 15 et b = 10
Multiples de a : 15, 30 ...
Multiples de b : 10, 20, 30 ...
ppcm(a ; b) = 30.
b. a = 24 et b = 6
Multiples de a : 24, ...
Multiples de b : 6, 12, 18, 24, ...
ppcm(a ; b) = 24.
c. a = 30 et b = 12
Multiples de a : 30, 60 ...
Multiples de b : 12, 24, 36, 48, 60,
...
ppcm(a ; b) = 60.
Correction de l'exercice 2
a. a = 42 et b = 184
Déterminons pgcd(a ; b) par
divisions successives :
184 = 42*4 + 16
42 = 16*2 + 10
16 = 10*1 + 6
10 = 6*1 + 4
6 = 4*1 + 2
4 = 2*2 + 0
Ainsi on a pgcd(42 ; 184) =
2.
Par conséquent,
ppcm(42 ; 184) = 2.
b. a = 56 et b = 1716
Calculons le pgcd(a; b) par divisions
successives :
1716 = 56*30 + 36
56 = 36*1 + 20
36 = 20*1 + 16
20 = 16*1 + 4
16 = 4*4 + 0
Donc pgcd(a ; b) = 4.
Or 56 et 1716 sont tous deux
divisibles par 2, par conséquent, ppcm(a ; b) = 2.
Vous verrez tout cela avec votre professeur de mathématiques.
Correction de l'exercice 3
On a ppcm(a ; b) = 1024 et ab = 32768.
On sait que pgcd(a;b)*ppcm(a;b) = ab.
Ainsi on a :
pgcd(a;b) = ab / ppcm(a;b) = 32768 /
1024 = 32.
On peut donc écrire : a = 32a'
et b = 32b', avec a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
On a alors : 32a'*32b' = 32768, donc
a'b' = 32.
Ensemble des diviseurs de 32 = {1, 2,
4, 8, 16, 32}.
a' et b' étant deux entiers
naturels premiers entre eux, on en déduit donc que le couple
(a'; b') appartient est l'un couples suivants : (1, 32), (32, 1).
Comme on a : a = 32a' et b = 32b'.
Ainsi, (a; b) appartient à
l'ensemble { (32 ; 1024), (1024 ; 32) }.
Correction de l'exercice 4
a. a = 13 et b = 22
13 est un nombre premier, donc pgcd(13;
22) = 1.
Ainsi, ppcm(13; 22) = 13*22 = 286.
b. a = 10 et b = 60
On peut écrire 60 = 10*6, donc
60 est multiple de 10.
Donc ppcm(10 ; 60) = 60.
c. a = 5*102 et b = 3*102
Donc ppcm(a ; b) = 102*ppcm(5,
3) = 15*10².
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