Chapitres
CE QU'IL FAUT RETENIR DU CHAPITRE SUR LES PRIMITIVES.
FICHE RÉCAPITULATIF
| CETTE FICHE ACCOMPAGNE LE COURS DE ROMAIN : DISPONIBLE ICI. |
1 : Qu'est-ce qu'on appelle fonction primitive ?
Pour simplifier au maximum, il faut comprendre que pour une fonction f continue et dérivable sur un intervalle I. F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I ( donc continue ) et pour tout x appartenant à I :
F'(x) = f(x)
EXEMPLE : f(x) = cosx – xsinx et F(x) = xcosx.
En effet, dérivons F(x) : F'(x) = ( 1 ) ( cosx ) + ( x ) ( - sinx )
Soit F'(x) = cos(x) – xsinx.
De cette manière, nous pouvons en conclure que F est une primitive de f puisque : F'(x) = f(x)
2 : Une fonction admet-elle une infinité de primitives ?
Oui une fonction admet une infinité de primitives. Pour cela, je vais vous demander d'admettre ou plutôt de comprendre le théorème ci-dessous :
| 1 : Si F est une primitive de f sur I, alors F+ k est aussi une primitive de f sur I où k appartient à IR.
2 : Si F et G sont deux primitives de f sur I alors il existe un réel k tel que pour tout x appartenant à I, F(x) – G(x) = k |
On peut ainsi conclure sur le fait que si F'(x) = f(x) et G'(x) = f(x) alors :
F'(x) – G'(x) = 0
DONC : ( F- G )' (x) = 0
ALORS : il existe un réel k tel que F(x) – G(x) = k
Ainsi, les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante. On obtient les courbes des différentes primitives par translation de l'une d'elle par k→j.
3 : Comment vais-je pouvoir rechercher les primitives d'une fonction ?
La recherche des primitives se fait par lecture inverse du tableau de dérivation. Vous pouvez éventuellement avoir recours au formulaire des primitives si vous n'y parvenez pas, mais je ne vous cache pas que cela vous demandera un certain travail supplémentaire...
| 1 : Commencer par repérer quelle relation entre les dérivées peuvent résoudre l'équation ( exemple : ( un )' = nu'(un-1) ).
2 : Dresser l'inventaire en trois étapes. ( u = ; u' = ; n = ) ← si nécessaire c'est un exemple.
3 : A l'aide de ces indications, débrouillez-vous de manière à ce que la partie de droite corresponde avec la fonction de l'énoncé. Vous obtenez alors une partie à gauche qui va vous permettre de trouver la primitive.
SOYEZ TOUJOURS PRUDENT SUR LE SIGNE, CAR C'EST LA PRINCIPALE SOURCE D'ERREURS. |
EXEMPLE : Donnez une primitive de la fonction f(x) = ( 2x-1 ) / ( x² – x + 3 )² sur l'intervalle IR.
1 : Au premier regard, on pense à la relation qui dit que ( 1 / u )' = ( - u' / u² )
2 : On effectue l'inventaire.
| 1 : u(x) = x² – x + 3
2 : u'(x) = 2x – 1
ICI INUTILE DE CALCULER N PUISQU'IL N'INTERVIENT PAS DANS LA RELATION ÉNONCÉ CI-DESSUS. |
3 : On en déduit que la fonction f(x) est de la forme u' / u² qui est égale à - ( 1 / u )'.
D'où une primitive de f est F = - 1 / ( x² – x + 3 )
En cours de maths, la méthode de résolution peut différer sur certains cas, mais c'est généralement celle que j'utilise le plus souvent. Je vous invite ainsi à vous entraîner sur un très grande nombre d'exercices de primitives, car il n'y a pas de secrets, c'est à force d'en manier que vous vous sentirez à l'aise et pourrez avoir le recul nécessaire pour vous débrouiller seul dans des cas compliqués.
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