Chapitres
- 01. Définition
- 02. Propriétés algébriques
- 03. Limites
- 04. Dérivation
- 05. Fonction logarithme décimal
Définition
La
fonction logarithme népérien , notée ln , est la
bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout x de
]0 ; +∞[ et tout y de R,
ln x = y <=> ey = x .
La fonction ln a
pour ensemble de définition ]0 ; +∞[
elle vérifie :
- ln(xy) = ln x + ln y avec x >
0 et y > 0
- ln (ex) = x
- eln x = x
avec x > 0
- ln 1 =
0.
Signe
ln(x) ≤
0 sur ]0 ; 1]
ln(x) > 0 sur ]1 ; +∞[
Propriétés algébriques
Soit x et y appartenant à ]0 ;
+∞[, et n un entier
naturel positif. On a :
ln (xy) = ln (x) + ln (y)
ln (1 / x) = -ln (x)
ln (√x)
= 1/2*ln (x)
ln (x/y) = ln (x) – ln (y)
ln xn = n.ln(x)
Limites
lim
ln (x) = +∞
x
-> ∞
lim
ln (x) / xy = 0
x
-> ∞
lim
ln(1 + h(x)) / h(x) = 1
h(x)
-> 0
lim
ln (x) = -∞
x
-> 0
lim
xrln (x) = 0 (r > 0)
x
-> 0
Dérivation
- ln est
dérivable sur ]0 ; +∞[
et, pour tout réel x > 0 :
= 1 / x
- ln est
strictement croissante sur ]0 ; +∞[,
donc, pour tous x et y de ]0 ; +∞[
:
x < y <=> ln x < ln y
x = y <=> ln x = ln
y
- si une fonction u est positive et ne s'annule pas
sur un intervalle I , alors ln u est dérivable
sur I et , pour tout x de I :
(ln u)'(x) = u'(x) / u(x)
Fonction logarithme décimal
On
appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée
log , et définie sur ]0 ; +∞[
par :
log
(x) = ln (x) / ln (10)
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