Chapitres
Définitions
Une fonction polynôme est une fonction P définie par une expression du type :
P(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0
Les nombres a0,...,an sont appelés les coefficients de P.
Si an 0, n est appelé le degré de P.
Opérations sur les degrés
Soit P et Q deux fonctions polynômes non nulles. Alors :
deg (PQ) = deg P + deg Q
et deg (P + Q) 0, S = {(-b-Racine de D)/2a, (-b+Racine de D)/2a}
Somme et produit des racines
Théorème 4 :
Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a 0, admet deux racines x1 et x2 alors :
x1 + x2 =-b/a et x1 x2 =c/a .
Remarque : ces formules restent valables si les racines sont confondues.
Théorème 5 : Les solutions du système sont les couples (u, v) tels que u et v soient les solutions de l'équation du second degré x² - Sx + P = 0.
Remarque : quand on connaît une solution (u, v) du système on a entièrement résolu celui-ci, car l'autre solution est (v, u).
Factorisation du trinôme
Théorème 6 :
Si le trinôme P(x) admet deux racines x1 et x2 (éventuellement confondues), alors pour tout réel x,
P(x) = a(x - x1)(x - x2).
Signe du trinôme
Théorème 7 :
Si D < 0, P(x) a le signe de a pour tout x.
Si D = 0, P(x) a le signe de a pour tout x .
Si D > 0, P(x) a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (- a) entre les racines.
Remarque : un élève de première S doit connaître parfaitement ce résultat, mais peut, au début, faire rapidement un tableau de signes.
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