Chapitres
- 01. Rappels de cours
- 02. Exemple
Soit f:x->exp(k.x)/x avec k un réel
On note (C) la courbe représentative de cette fonction, (T) la tangente à cette courbe au point M d'abscisse 2.
On note (D) la droite perpendiculaire à (T) passant par M. Cette droite coupe l'axe (0x) en N. Calculer les coordonnées du point N
Rappels de cours
- On sait que l'equation de la tangente à (C) a pour équation :
yT = f'(m).(x-m) + f(m) avec m abscisse du point M, c'est à dire m=2
- Calculons f' puis yT
f'(x) = (u'v-uv')/v2 = [exp(k.x).(kx -1)] / x2
f'(2) = [exp(2k).(2k -1)] / 4
D'où yT = [exp(2k).(2k -1) / 4] x -0,5.[exp(2k).(2k -1)] + exp(2k) / 2
= [exp(2k).(2k -1) / 4] x + exp(2k).[1 -k]
- On peut utiliser le produit scalaire pour trouver l'equation de (D).
Rappel : Si u(a1;b1) et v(a2;b2) sont 2 vecteurs, dans une base orthonormale leur produit scalaire est : vecteur(u).vecteur(v)=a1.a2+b1.b2
Exemple
(T) a pour vecteur directeur uT( 1; [exp(2k).(2k -1)] / 4 ).
En effet si j'avance de 1 sur l'axe de mes abscisses, je monte de [exp(2k).(2k -1)] / 4 sur l'axe de mes ordonnées. (le coefficient devant x étant la pente de ma droite affine)
On pose ainsi uD(1; CD) un coefficient directeur de ma droite (D) avec CD à déterminer.
On sait que uT.uD = 0 car (D) et (T) perpendiculaires.
Donc 1.1+CD.[exp(2k).(2k -1)] / 4 = 0
Soit CD =- 4 / [exp(2k).(2k -1)]
On en déduit l'équation de yD :
yD = CD.(x-2) + f(2) (car (D) et (T) se coupent en M d'abscisse 2)
yD = - 4 / [exp(2k).(2k -1)].(x-2) + exp(2k) / 2
- On cherche N tel que :
yD(x) = 0 car N est l'intersection entre yD et l'axe des abscisses.
- 4 / [exp(2k).(2k -1)].(x-2) + exp(2k) / 2 = 0
x = 2 + exp(4k).(2k-1) / 8
les coordonnées de N sont donc :
N (2 + exp(4k).(2k-1) / 8 ; 0)
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Exercice très intéressant.