Chapitres
- 01. Exercice
- 02. Correction
Exercice
f(x) = (3-x)ex
Démontrons que l'équation f'(x) = 2 a exactement 2 solutions.
f'(x) = -ex+(3-x)ex
f'(x) = ex(2-x)
Soit l'equation : ex(2-x) = 2
<=> ex(2-x)-2 = 0
On pose g la fonction définie sur IR par
g(x) = ex(2-x)-2
g'(x) = ex(2-x)+ex(-1) = ex(1-x)
∀x Є IR, ex>0 donc g' a le même signe que 1-x
V(-∞) : g(x) = 2ex-xex-2
lim ex = 0
x→-∞
lim xex = 0 croissance comparée
x→-∞
lim g(x) = -2
x→-∞
V(+∞) : g(x) = 2ex-xex-2
lim ex = +∞
x→+∞
lim 2-x = -∞
x→+∞
lim g(x) = -∞
x→+∞
Correction
Sur ]-∞;1]
g continue
g strictement croissante
g(]-∞;1]) = ]-2;e-2]
0 Є ]-2;e-2]
donc d'après le théorème de bijection,
l'équation g(x) = 0 a une unique solution sur ]-∞;1]
De même une unique solution sur [1;+∞[
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