Zéro est à la fois positif et négatif. Ce détail, qui surprend souvent, résume bien ce qu’est un nombre relatif : une valeur précédée de + (au-dessus de 0) ou de − (en dessous), que l’on situe par sa distance à zéro. Ils occupent une bonne partie du programme de maths du cycle 4 publié en 2026, appliqué au collège en 5e depuis la rentrée.
Leur raison d’être tient en une soustraction. Avec les seuls entiers naturels, 3 − 5 est impossible ; avec les relatifs, il existe et vaut −2. Le programme le dit sans détour : ils sont introduits « afin de rendre possible toutes les soustractions ».
Qu’est-ce qu’un nombre relatif ? ➕
Par définition, un nombre relatif est un nombre formé d’un signe (+ ou −) et d’une distance à zéro. +15, −4 ou −2,5 en sont, tout comme 0, qui s’en passe.
🔍 Un signe et une distance à zéro
Dans −36,7, le − indique une valeur inférieure à 0 et 36,7 mesure son écart avec 0. Dans l’écriture d’une valeur au-dessus de 0, le + peut disparaître : +15 = 15. Ils ne sont pas forcément entiers : +0,8 et −2,5 sont des décimaux relatifs.
Le programme du cycle 4 fixe les objectifs de 5e : définir ces nombres, leur opposé et leur valeur absolue, puis s’en servir pour décrire des grandeurs qui descendent sous zéro, comme une température, une altitude ou une date.
🧐 Positif, négatif : le cas de zéro
Est-ce que 0 est un nombre relatif ? Oui. Il est même le seul à être les deux à la fois, sans être strictement ni l’un ni l’autre. Le programme de 5e insiste sur cette nuance :
- Strictement positif : plus grand que 0, comme
+3, - Positif : plus grand que 0 ou égal à 0,
- Strictement négatif : plus petit que 0, comme
−3, - Négatif : plus petit que 0 ou égal à 0.
📖 Les entiers relatifs et l’ensemble ℤ
Les entiers relatifs sont les nombres …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Ils forment un ensemble noté ℤ. Les entiers naturels (0, 1, 2…) en font partie, mais pas −2,5, qui est décimal. La notation ℤ n’est pas exigée en 5e : tu la retrouveras au lycée.
Lis toujours un relatif en deux temps : son signe, puis sa distance à zéro.
Dans −4, le − dit « en dessous » et 4 dit « à quatre unités de l’origine ». Seul 0 fait exception : il est les deux à la fois.
Qu’est-ce qu’un nombre relatif opposé ? ↔️
Deux nombres relatifs sont opposés quand ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. −17 et +17 sont opposés, tout comme +7 et −7. Leur somme vaut toujours 0, et 0 est son propre opposé.
🔄 Trouver l’opposé d’un nombre
Pour obtenir l’opposé, il suffit de changer le + en − (ou l’inverse) et de garder la distance à zéro : l’opposé de +2,5 est −2,5, l’opposé de −17 est +17. Sur un axe gradué, ils correspondent à deux points symétriques par rapport à l’origine, l’un à droite, l’autre à gauche.
La vérification est rapide : (−17) + (+17) = 0. Si la somme ne fait pas 0, les deux nombres ne sont pas opposés.
📏 La valeur absolue, une distance à zéro
La valeur absolue d’un relatif est sa distance à zéro, sans le signe. Elle est donc toujours positive : la valeur absolue de 8 est 8, celle de −8 aussi. La notation |−8| = 8 se rencontre parfois.
Quand on demande la « valeur relative » de 8, on pense en général à cette double lecture : 8 peut s’écrire +8, sa valeur absolue vaut 8 et son opposé est −8.
Comment additionner et soustraire des nombres relatifs ? 🧮
Pour additionner deux relatifs de même signe, garde-le et ajoute les distances à zéro ; sinon, prends celui du plus éloigné de 0 et soustrais les distances. Pour soustraire, ajoute l’opposé. Le tableau résume ces méthodes.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Addition, même signe | On garde le signe commun et on additionne les distances à zéro | (−13) + (−2) = −15 |
| Addition, signes contraires | On prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro et on soustrait la plus petite distance de la plus grande | (−17) + (+4) = −13 |
| Addition de deux opposés | Le résultat vaut toujours 0 | (−9) + (+9) = 0 |
| Soustraction | Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé | (−13) − (−17) = (−13) + (+17) = +4 |
| Somme de plusieurs termes | On regroupe les positifs d’un côté, les négatifs de l’autre, puis on additionne les deux résultats | (+118) + (−97) = +21 |
➕ Additionner deux nombres relatifs
Quand les deux termes ont le même signe, la somme le conserve : (−13) + (−2) = −15 et (+23) + (+2) = +25. Deux dettes s’ajoutent, deux gains aussi.
Quand les signes sont contraires, compare d’abord les distances à zéro. Dans (+23) + (−2), 23 l’emporte sur 2 : on obtient 23 − 2, soit +21. Dans (−17) + (+4), 17 l’emporte : on obtient −13.
Sur la droite graduée, ajouter une valeur sous 0 revient à se déplacer vers la gauche : partir de 1 et reculer de 3 unités mène à 1 + (−3) = −2.
➖ Soustraire un nombre relatif
La règle tient en une phrase : soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé. Ainsi (−13) − (−17) devient (−13) + (+17), qui vaut +4.
Un exemple réel montre l’intérêt de la règle. Selon Météo-France, le thermomètre de Mouthe, dans le Doubs, est descendu à −36,7 °C le 13 janvier 1968, puis remonté à +1,1 °C la nuit suivante. La différence se calcule par une soustraction : (+1,1) − (−36,7) = (+1,1) + (+36,7) = +37,8.
Près de
degrés d’écart en 24 heures à Mouthe (Doubs), de −36,7 °C à +1,1 °C, en janvier 1968 (Météo-France, 2020)
🧩 Calculer une somme de plusieurs termes
Face à une longue somme, regroupe les termes par signe. Prenons (+10) + (−42) + (−38) + (+20) + (+40) + (−17) + (+48) :
- Termes en + :
10 + 20 + 40 + 48 = 118, - Termes en − :
42 + 38 + 17 = 97, donc−97, - Le total :
(+118) + (−97) = +21.
Le programme demande aussi de simplifier l’écriture : la même somme s’écrit 10 − 42 − 38 + 20 + 40 − 17 + 48, sans parenthèses, et donne toujours 21.
Quelles sont les erreurs fréquentes avec les nombres relatifs ? ⚠️
Les erreurs portent presque toujours sur le signe : ajouter les distances à zéro alors que les deux termes s’opposent, ou oublier de transformer le terme soustrait en son opposé. L’évaluation nationale de début de 4e en a fait deux questions.
🎯 Deux calculs de l’évaluation nationale de 4e
En septembre 2026, chaque élève de 4e a passé un test d’automatismes de 22 questions, dont 13 en nombres et calculs, sans calculatrice, selon la présentation de l’évaluation publiée sur Éduscol. Deux d’entre elles reprennent directement le cours de 5e : −5 + 7 et 7 − (−5).
Les réponses fausses proposées sont les erreurs typiques relevées par le ministère, liées selon lui à « la gestion du signe » :
- Pour
−5 + 7:−12(on a ajouté 5 et 7 en gardant le −),12(on a ajouté 5 et 7 sans tenir compte des signes),−2(bon calcul, mauvais signe), - Bonne réponse :
−5 + 7 = 2, car 7 est plus éloigné de zéro que 5, - Pour
7 − (−5):2(on a fait7 − 5),−2ou−12, - Bonne réponse :
7 − (−5) = 7 + (+5) = 12.
✅ Trois vérifications avant de valider
Avant d’écrire un résultat, pose-toi trois questions. Les signes sont-ils identiques ou contraires ? Lequel des termes est le plus éloigné de zéro ? Y a-t-il une soustraction à transformer en addition de l’opposé ? Ce réflexe suffit pour l’essentiel des calculs de tes exercices.
Calcule de tête : −5 + 7, puis 7 − (−5).
Réponses : 2 et 12. Si tu trouves −2 ou 2 pour le second, souviens-toi : soustraire −5, c’est ajouter +5.
Comment se repérer avec des nombres relatifs ? 📍
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un seul nombre, son abscisse. Dans un plan muni d’un repère, il en faut deux, qui forment ses coordonnées : celle-ci puis l’ordonnée.
📏 Sur une droite graduée : abscisse et comparaison
Sur un axe orienté de gauche à droite, l’origine porte 0, les valeurs en + sont à droite et celles en − à gauche. Si le point A a pour abscisse −4 et le point B +5, A se trouve à quatre unités à gauche de 0 et B à cinq unités à droite.
Pour comparer deux valeurs, la plus petite est la plus à gauche. Entre deux négatifs, c’est donc le plus éloigné de 0 : −36,7 < −29,5. Météo-France cite justement ces deux records de froid, Mouthe (−36,7 °C) et Chappes, dans le Puy-de-Dôme (−29,5 °C le 5 janvier 1971, record des stations situées sous 500 m). Rangés dans l’ordre croissant, −5 < −2 < 0 < 3.
🗺️ Dans le plan : abscisse et ordonnée
Un repère orthogonal du plan se compose de deux droites graduées perpendiculaires :
- Une droite horizontale, l’axe des abscisses,
- Une droite verticale, l’axe des ordonnées,
- Un point d’origine, à leur intersection,
- Une graduation sur chaque axe.
Chaque point y est repéré par un couple de nombres, noté A (xA ; yA) : xA d’abord, yA ensuite. Pour placer A (−2 ; 4), pars de l’origine, avance de 2 unités vers la gauche, puis monte de 4. Le point B (4 ; 6) se trouve en haut à droite, C (−5 ; −1) en bas à gauche et D (3 ; −5) en bas à droite.
D’où viennent les nombres négatifs ? 📜
Ils apparaissent dès le Ier siècle en Chine, sous la dynastie des Han, pour tenir des comptes à l’aide de baguettes de couleur. En Europe, ils restent longtemps suspects et l’on parle de « quantités négatives » jusqu’au XVIIIe siècle.
Le programme de 5e situe leurs « premières apparitions » chez l’Indien Brahmagupta, vers 600, et rappelle que leur existence était « toujours niée au XVIIe siècle ». Au XVe siècle, le Français Nicolas Chuquet est le premier à isoler une telle valeur dans un membre d’une équation. En 1741, Celsius fait construire un thermomètre gradué de 0° pour la solidification de l’eau à 100° pour son ébullition, ce qui installe les températures sous zéro dans la vie quotidienne.
Même à la fin du XVIIIe siècle, certains savants refusaient encore l’idée de retirer quelque chose de rien, comme le rapporte la revue Repères IREM :
Pour obtenir une quantité négative isolée, il faudrait retirer une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible.
Lazare Carnot (1753-1823), mathématicien, cité dans Repères IREM n° 73 (2008)
Signe, distance à zéro, opposé : trois idées suffisent, et un seul principe, ajouter l’opposé, vient à bout de toutes les soustractions. Pour t’entraîner avec un regard extérieur, de nombreux professionnels proposent leurs services à domicile ou en visio partout en France : un professeur de maths peut te faire travailler ces exercices à ton rythme.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Un nombre relatif peut-il être décimal ?
Oui. Il peut être entier, comme −4, ou décimal, comme −2,5 ou +0,8. En 5e, le programme demande justement de comparer, ranger, additionner et soustraire des décimaux relatifs. Les règles ne changent pas : (−2,5) + (+0,8) = −1,7, car 2,5 est plus éloigné de zéro que 0,8.
💡 Pourquoi moins par moins donne plus ?
En 5e, le « moins moins » apparaît dans la soustraction : retirer une valeur négative revient à ajouter son opposé, donc 7 − (−5) = 7 + 5 = 12. Pense à une dette de 5 euros que l’on efface : ton solde augmente de 5. Le produit de deux négatifs, (−2) × (−3) = +6, arrive en 4e, avec la multiplication des relatifs.
🔍 Quelle différence entre opposé et inverse ?
L’opposé d’un nombre donne 0 quand on l’additionne à ce nombre ; l’inverse donne 1 par multiplication avec ce nombre. L’opposé de 4 est −4, car 4 + (−4) = 0 ; son inverse est 0,25, car 4 × 0,25 = 1. Zéro a un opposé, lui-même, mais pas d’inverse.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. « Arrêté du 18 février 2026 (NOR MENE2602912A). » Bulletin officiel de l’Éducation nationale, n° 10, 5 mars 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Bulletin%20officiel%20n%C2%B0%2010%20du%205%20mars%202026-480719.pdf.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4. » Ministère de l’Éducation nationale, 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Annexe%202%20%E2%80%93%20Programme%20de%20math%C3%A9matiques%20pour%20le%20cycle%204-480716.pdf.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Évaluation nationale. Classe de quatrième. Mathématiques. Présentation des exercices et des compétences évaluées. » Éduscol, septembre 2026, https://eduscol.education.gouv.fr/sites/default/files/document/26eva4presentationexercicesetcompetencesma-129088.pdf.
- Groupe Didactique des Mathématiques, IREM d’Aquitaine. « Enseigner les nombres relatifs au collège. » Repères IREM, n° 73, octobre 2008, https://bibnum.publimath.fr/IWR/IWR08016.pdf.
- Météo-France. « Pourquoi Mouthe (Doubs) est le village le plus froid de France. » Météo-France, 19 mars 2020, https://meteofrance.com/actualites-et-dossiers/magazine/les-secrets-de-la-meteo/la-meteo-en-questions/pourquoi-mouthe-doubs.
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