Comment calculer en maths ? De quelle manière trouver ce que vaut 3 + 4 × 2 ?
La réponse est
et non pas 14 !
Cette petite différence, qui surprend tant d'élèves de 5e, vient d'une règle toute simple : dans un calcul, toutes les opérations ne se valent pas. Certaines passent avant les autres, et c'est cette hiérarchie fondamentale qui décide du résultat final.
Comprendre la composition de l'enchaînement des opérations, c'est gagner en assurance face à n'importe quel calcul, du plus court au plus long. Une fois la logique des priorités bien intégrée, les exercices qui semblaient pleins de pièges deviennent une suite d'étapes claires et prévisibles. Nous allons découvrir ici le vocabulaire utile, les règles de priorité et les méthodes du développement et de la factorisation, avec un exemple concret à chaque étape !
Le vocabulaire des opérations à connaître 📖
Avant de calculer, il est utile de savoir nommer correctement chaque résultat. En mathématiques, chaque opération possède son propre terme, et ce vocabulaire revient sans cesse dans les énoncés comme dans les corrigés. Le maîtriser permet de lire un exercice plus vite et de comprendre exactement ce que l'on attend de vous !
Voici les
opérations de base dans la composition de l'enchaînement, ainsi que le nom de leur résultat :
Le résultat d'une addition
Une somme
Le résultat d'une soustraction
Une différence
Le résultat d'une multiplication
Un produit
Le résultat d'une division
Un quotient
Ces termes ne servent pas qu'à décorer les cours. Quand un énoncé vous demande de « calculer la somme de 12 et 8 », il attend l'addition 12 + 8 = 20. Quand il parle du « produit de 5 par 6 », il s'agit de 5 × 6 = 30. Repérer ce vocabulaire dans une consigne, c'est déjà la moitié du travail, car il vous indique directement quelle opération effectuer !
Attention :
mots méritent une attention particulière :
- Les termes désignent les nombres reliés par une addition ou une soustraction
- Les facteurs désignent les nombres reliés par une multiplication
Dans 7 + 5, 7 et 5 sont des termes ; dans 7 × 5, ce sont des facteurs. Cette distinction vous sera très précieuse au moment d'aborder la factorisation !
Retenez que les termes vont avec le + et le −, tandis que les facteurs vont avec le ×.
Une astuce : facteur et fois (multiplier) commencent par la même lettre !
Les règles de priorité des opérations : la composition de l'enchaînement 🎯
Quand un calcul contient plusieurs opérations différentes, l'ordre dans lequel vous les effectuez change totalement le résultat. Les mathématiciens ont donc fixé une convention universelle, valable partout dans le monde, pour que tout le monde obtienne la même réponse.
Cette convention s'appuie sur
niveaux de priorité.
L'ordre à respecter est toujours le suivant :
Etape 1
D'abord, les calculs entre parenthèses
Etape 2
Ensuite, les multiplications et les divisions, de gauche à droite
Etape 3
Enfin, les additions et les soustractions, de gauche à droite
Prenons un exemple complet pour voir ces règles en action : calculons (30 + 3) − 24 + 5. On commence par les parenthèses : 30 + 3 = 33. Il reste alors 33 − 24 + 5. Comme il n'y a plus que des additions et des soustractions, on avance de gauche à droite : 33 − 24 = 9, puis 9 + 5 = 14. Le résultat est donc 14.
Dans les pays anglophones, on apprend l'acronyme PEMDAS (Parenthèses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction) !
En France, pas besoin d'acronyme : retenez simplement les trois niveaux dans l'ordre.
➡️ Pourquoi le sens de gauche à droite compte ?
Quand un calcul ne contient que des additions et des soustractions, ou bien que des multiplications et des divisions, il faut alors lire le calcul comme on lirait une phrase : de gauche à droite.
Ce détail est essentiel pour les soustractions et les divisions, car elles ne se comportent pas comme l'addition.
Reprenons 33 − 24 + 5 : effectué dans l'ordre, il donne 14. Si on calculait d'abord 24 + 5 = 29 puis 33 − 29, on trouverait 4, ce qui serait faux !
Avec un calcul qui mélange les niveaux, comme 3 + 4 × 2, la multiplication passe avant l'addition. On calcule donc 4 × 2 = 8, puis 3 + 8 = 11.
C'est exactement la réponse annoncée en introduction, et elle illustre toute l'importance des priorités !
🔓 Le rôle des parenthèses
Les parenthèses sont l'outil qui permet de changer l'ordre naturel des priorités. Elles indiquent : « calcule-moi d'abord ce qui se trouve à l'intérieur ». Ainsi, (3 + 4) × 2 ne donne pas le même résultat que 3 + 4 × 2. Dans le premier cas, on calcule 3 + 4 = 7 puis 7 × 2 = 14. Dans le second, la multiplication d'abord donne 11.
Quand plusieurs parenthèses sont imbriquées, on traite toujours les plus intérieures en premier. Cette habitude vous évite les erreurs sur les calculs un peu longs et rend chaque étape facile à vérifier !
Développer une expression : deux chemins vers le même résultat 🛤️
Développer, c'est transformer un produit en somme en distribuant la multiplication.
Cette technique s'appuie sur la propriété de distributivité, qui dit que multiplier une somme revient à multiplier chaque terme puis à additionner les résultats. En clair :k × (a + b) = k × a + k × b.
Cette propriété est très utile pour le calcul mental.
Imaginez que vous vouliez multiplier une somme un peu encombrante : plutôt que de l'attaquer d'un seul bloc, on peut alors la développer pour simplifier les nombres.
Le résultat reste identique, mais le chemin devient bien plus confortable.
Voici
chemins qui mènent au même résultat sur 10 × (18 + 12) :
Première méthode
On respecte les priorités : 18 + 12 = 30, puis 10 × 30 = 300
Deuxième méthode
On développe : 10 × 18 + 10 × 12 = 180 + 120 = 300
Le développement transforme un calcul intimidant en deux multiplications simples suivies d'une addition ! C'est précisément l'intérêt de cette méthode : elle décompose un problème en morceaux faciles à gérer, sans jamais changer le résultat final.
Les opérations de base à ordonner sont au nombre de
addition, soustraction, multiplication et division : 4 opérations qui suivent un ordre de priorité précis.
Développons 5 × (8 + 6) de deux façons, afin de vérifier. En respectant les priorités, on calcule d'abord la parenthèse : 8 + 6 = 14, puis 5 × 14 = 70. En développant, on distribue le 5 : 5 × 8 + 5 × 6 = 40 + 30 = 70.
Les deux résultats coïncident, ce qui confirme que la méthode est fiable. Cette vérification croisée est une excellente habitude à prendre pour gagner en confiance !
Factoriser : l'opération inverse du développement 🔁
Factoriser, c'est faire le chemin inverse du développement : on part d'une somme et on la transforme en produit, en mettant en évidence un nombre présent dans chaque terme. Ce nombre commun s'appelle le facteur commun. La factorisation repose sur la même propriété de distributivité, lue dans l'autre sens : k × a + k × b = k × (a + b).
Reprenons un exemple parlant : l'expression 5 × 29 + 5 × 24contient deux fois le facteur 5. On peut donc le mettre en facteur et écrire 5 × (29 + 24). Le calcul devient alors bien plus simple : 29 + 24 = 53, puis 5 × 53 = 265. La factorisation a transformé deux multiplications en une seule !
Pour réussir une factorisation, la démarche tient en
temps :
Repérer le nombre qui apparaît dans chaque produit
C'est le facteur commun
Sortir ce facteur commun
En le plaçant devant une parenthèse
Placer dans la parenthèse les nombres restants
Reliés par l'opération d'origine
Le calcul littéral n'est pas une fin en soi : c'est un langage qui permet de raisonner sur les nombres sans avoir à les connaître. Développer et factoriser, ce sont les deux verbes de base de ce langage.
Éduscol, Le calcul aux cycles 2, 3 et 4 (2016)
Développement et factorisation sont donc deux faces d'une même pièce. L'un déplie, l'autre replie. Savoir passer de l'un à l'autre, c'est se donner la liberté de choisir la forme la plus pratique selon le calcul à mener, et c'est une compétence qui vous resservira tout au long du collège et du lycée !
Avec ces repères en main, les calculs à plusieurs opérations deviennent une suite d'étapes logiques plutôt qu'un labyrinthe ! Entraînez-vous sur quelques exemples chaque jour, vérifiez vos résultats en empruntant le chemin inverse quand c'est possible, et vous verrez ces réflexes s'installer naturellement. La régularité fait toute la différence, et chaque calcul réussi renforce votre aisance pour la suite ! Un dernier petit rappel ?
| Opération | Signe | Nom du résultat | Nom des éléments |
|---|---|---|---|
| Addition | + | Somme | Termes |
| Soustraction | − | Différence | Termes |
| Multiplication | × | Produit | Facteurs |
| Division | ÷ | Quotient | Diviseur et dividende |
Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4
" Bulletin officiel, avril 2026, https://eduscol.education.gouv.fr/5736/ressources-d-accompagnement-du-programme-de-mathematiques-au-cycle-4. - Éduscol. "Mathématiques", Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques, juin 2026, https://eduscol.education.gouv.fr/4509/mathematiques.
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