Chapitres
Equation du premier degré à une inconnue:
Equations de référence
1. L'équation a + x = b a pour solution x = b - a
2. L'équation ax = b a pour solution x = b/a (a0)
Résoudre une équation :
Exemple : 2x + 6 = 2 (1 - x)
premier membre deuxième membre
Résoudre cette équation c'est trouver toutes les valeurs que l'on peut donner à x pour que l'égalité soit vraie.
On utilise les règles suivantes:
règle 1 : on peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une égalité;
règle 2 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres d'une égalité.
Résoudre l'équation 2x + 6 = 2(1 - x)
2x + 6 = 2(1 - x)
2x + 6 = 2 - 2x <--------- on développe
2x + 6 + 2x = 2 <---------- règle 1 : on ajoute 2x ; on regroupe les termes en x dans le 1er membre
4x + 6 = 2 <--------- on réduit
4x = 2 - 6 <---------- règle 1 : on soustrait 6 à chaque membre
4x = -4
4x÷4 = -4÷4 <----------- règle 2 on divise par 4 chaque membre
x = -1
vérification :
Si x = -1 alors 2x + 6 = 2 x (-1) + 6 = 4
et 2(1 - x) =2 (1 - (-1)) = 4
L'égalité est vraie
x = -1 est l'unique solution de l'équation 2x + 6 = 2(1 - x)
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Inéquation du premier degré à une inconnue
Propriétés des inégalités
Règle 1 : on peut aditionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité; Si a < b alors a + c < b + c
Exemple : Si x - 7 < 4 alors x - 7 + 7 < 4 + 7
x < 11
L'inéquation a une infinité de solutions.
Représentons graphiquement ces solutions :
La demi-droite coloriée représente les solutions.
(x = 11 n'est pas une solution, le crochet est tourné vers la partie hachurée)
règle 2 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité de même sens. Si a ² b et c > 0 alors ac ² bc
Exemple : Si 5x ³ 4 alors 5x ÷ 5 ³ 4 ÷ 5 x ³ 4/5 ou x ³ 0,8
Représentation graphique des solutions :
La demi-droite coloriée représente les solutions. (x = 0,8 est une solution, le crochet est tourné du côté des solutions)
règle 3 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre négatif les deux membres d'une inégalité on obtient alors une inégalité de sens contraire. Si a ² b et c < 0 alors ac ³ bc
Exemple : Si -4x ² 8 alors -4x ÷ (-4) ³ 8 ÷ (-4) <---- l'inégalité change de sens x ³ -2
Représentation graphique des solutions :
Résoudre une inéquation :
Exemple résoudre :
-5x + 7 > 2x + 21
premier membre deuxième membre -5x + 7 > 2x + 21 -5x + 7 - 7 > 2x + 21 - 7 <----------- Règle 1 : on ajoute -7 à chaque membre -5x > 2x + 14 <---------- On réduit -5x -2x > 2x - 2x + 14 <---------- Règle 1 : on ajoute -2x à chaque membre -7x > 28 <--------- On réduit -7x ÷(-7) < 28÷(-7)<----------- Règle 3 : on divise chaque membre par -7.
L'inégalité se retourne x < -4 Représentons graphiquement ces solutions :
Système de deux inéquations à une inconnue
Résoudre le système d'inéquations suivant et représenter graphiquement les solutions :
Il faut déterminer les solutions communes aux deux inéquations. Méthode : Il faut résoudre chacune des inéquations.
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Résoudre un problème à l'aide d'inéquations
Enoncé : Une société de location de véhicule propose le tarif suivant : Voiture Forfait Prix par kilomètre parcouru
106 200 F 3 F
ZX 300 F 1,50 F
Safrane 380 F 1,80 F Pour quel distance en kilomètres, le prix de location d'une 106 est-il supérieur à celui d'une ZX et inférieur à celui d'une Safrane ?
Méthode : Pour résoudre ce problème il faut suivre 4 étapes : 1. Choix de l'inconnue
2. Mise en (in)équation
3. Résoudre
4. Rédiger la conclusion
1. Choix de l'inconnue : Soit x le nombre de kilomètres parcourus.
2. Mise en (in)équation : Prix de location d'une 106 : 200 + 3x
Prix de location d'une ZX : 350 + 1,5xPrix de location d'un Safrane : 380 + 1,8x
Il faut résoudre le système :
3. Résolution :
Un disque de 7 cm de rayon est inscrit dans un carré de 14 cm de côté.
Donner un encadrement de l'aire de la partie colorée sachant que 3,14 < pi < 3,15 Exprimons l'aire de la partie colorée en fonction de pi. L'aire de la partie colorée est égale à la différence entre l'aire du carré et celle du disque.
A = 142 - pi x 72
A = 196 - 49pi
3,14 < pi < 3,15 49 x 3,14 < 49pi < 49 x 3,15 On multiplie chaque membre par 49. (règle 2) 153,86 < 49pi <154,35 -153,86 >-49pi >-154,35 On multiplie chaque membre par (-1), l'inégalité se renverse. (règle 2) 196 - 153,86 > 196 -49pi >196 -154,35 On additionne 196 à chaque membre. (règle 1) 42,14 > 196 - 49pi > 41,65 On écrit l'encadrement dans le sens croissant. 41,65 <196 - 49pi < 42,14 On obtient l'encadrement de l'aire de la partie colorée.
méthode 2 :
On calcule l'aire pour pi = 3,14 ; si pi = 3,14 alors A = 196 - 49 x 3,14 = 42,14 On calcule l'aire pour pi = 3,15 ; si pi = 3,15 alors A = 196 - 49 x 3,15 = 41,65 On écrit l'encadrement sans se tromper dans le sens. 41,65 < A < 42,14 L'aire colorée est comprise entre 41,65 cm2 et 42,14 cm2
4. Conclusion : Entre 100 et 150 km, le prix de location d'une 106 est compris entre celui d'une ZX et celui d'une Safrane
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