Propriété
ABCD est un carré de centre O. E est un point du côté [BC] et F est un point du côté [CD] tel que : BE = CF. H est le point d'intersection des droites (BF) et (DE).
En utilisant une rotation de centre O, démontrer que le point H est l'orthocentre du triangle AEF.
Solution
Soit r la rotation de centre O, d'angle 60° et de sens direct.
Voici le plan de la démonstration :
- (BF) hauteur dans le triangle AEF
- (DE) hauteur dans le triangle AEF
- Conclusion : H orthocentre
I.
Les diagonales d'un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu donc OB = OA ; angleAOB = 90° et BOA direct. Donc r(A) = B.
De la même façon :
- r(B) = C
- r(D) = D
Donc l'image de [BC] et [CD].
E sur [BC]. Or la rotation conserve l'alignement des points. Donc E', image de E par r, sur l'image de [BC] donc sur [CD].
La rotation conserve les distances. Donc BE = CE'. Or BE = BF donc E' et F sont confondus.
r(E) = F
Donc l'image de (AE) est (BF).
L'image d'une droite par la rotation de 90° est une droite perpendiculaire.
Dans la rotation r d'angle 90°, (BF), image de (AE), est perpendiculaire à (AE).
La doite (BF) coupe le côté (AE) pependiculairement et passe par le sommet opposé F dans le triangle AEF. Donc (BF) est la hauteur issue de F dans le triangle AEF.
II.
De la même façon :
r(D) = A et r(E) = F ; donc l'image de (DE) est (AF).
Dans la rotation r d'angle d'angle 90° : (AF), image de (DE), est perpendiculaire à (DE).
Dans le triangle AEF, (DE) est la hauteur issue de E.
III.
H intersection des hauteurs (DE) et (BF) dans le triangle AEF. Donc H est l'orthocentre du triangle AEF.
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