Comment connaître les longueurs des côtés d'un triangle ?

Par Olivier

Rédigé le 8 septembre 2009

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Notons A,B et C trois points de telle sorte que ABC soit un triangle équilatéral direct ; soit M le point interieur du triangle tel que MA=3cm ; MB=4cm et MC=5cm. Soit R la rotation de centre A et d’angle pi/3 (le signe pi n’apparait pas sur le clavier de mon ordinateur) et N=R(M) 1°/ Quelles sont les longueurs des côtés du triangle CNM ? En déduire la nature de CNM. 2°/ A l’aide de relations métriques, dans le triangle ACN, calculer la longueurs des côtés de ABC. Faites un dessin de A,B,C et M.

Réponse de notre équipe pédagogique

1°/ Quelles sont les longueurs des côtés du triangle CNM ? En déduire la nature de CNM.

MC=5 ( longueur connue)
De plus, AMN est équilatéral puisque AM=AN ( il est isocèle) et que l’angle MAN est égal à pi/3. Donc, MN=3
Enfin, par la rotation R :
B donne C et M donne N. Donc, L’image du segment (BM) est le segment (NC). Donc NC=BM=4
Ainsi, comme MC²=MN²+NC², d’après la réciproque du théorême de Pythagore, le triangle MNC est rectangle en N.

2°/ A l’aide de relations métriques, dans le triangle ACN, calculer la longueurs des côtés de ABC. Faites un dessin de A,B,C et M.

Utilisons la formule d’Al-Kashi :

pour un triangle ABC quelconque, nous avons : AC²=AB²+BC²-2.AB.BC.cos^B

Ici, cela donne : AC²=NC²+AN²-2NC.AN.cos^N

Or ^ANC=^MNA+^MNC=pi/3+pi/2=5pi/6

D’où AC²=4²+3²-2.4.3.cos(5pi/6)

=16+9-24.(-V3/2)
=25+12.V3

Au final, on a :

AC=V(25+12.V3)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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