Quand on observe le ciel à l'œil nu, comment mesurer la distance entre deux étoiles, prévoir une éclipse ou situer précisément un astre sur la voûte céleste ?
Au IIe siècle avant notre ère, un savant grec s'attaque à ces questions en combinant géométrie et observation astronomique. Son nom : Hipparque. Ses travaux, bien que partiellement conservés, marquent une étape décisive dans l'histoire des mathématiques grecques, ancrant le savant comme l'un des plus grands savants de l'Antiquité.
Hipparque n'a pas inventé la trigonométrie telle qu'on la connaît aujourd'hui, avec ses fonctions sinus, cosinus et tangente. Mais il a posé une pierre fondatrice en développant une table des cordes, un outil permettant de relier les angles d'un cercle à des longueurs mesurables. Cette méthode, conçue pour répondre à des besoins astronomiques précis, préfigure directement les tables trigonométriques utilisées aujourd'hui en sciences et en ingénierie.
Hipparque est souvent considéré comme l'un des fondateurs de la trigonométrie parce qu'il aurait élaboré une table des cordes permettant de relier les angles d'un cercle à des longueurs. Cette méthode, développée pour résoudre des problèmes d'astronomie, constitue un ancêtre des tables de sinus utilisées aujourd'hui. Il ne faut toutefois pas lui attribuer seul la création de la trigonométrie moderne : ses travaux s'inscrivent dans une évolution des mathématiques grecques et seront ensuite développés par Ménélas, Ptolémée, puis les mathématiciens indiens et arabes.
Qui était Hipparque, le savant grec à l'origine de la trigonométrie antique ?
Avant de comprendre sa contribution scientifique, il est utile de resituer Hipparque dans son époque et son parcours1.
Vers 190 av. J.-C. à Nicée (Bithynie) — vers 120 av. J.-C
Astronome, mathématicien, géographe
Grecque
Table des cordes, précession des équinoxes, catalogue d'étoiles
Ptolémée et l'Almageste, astronomie grecque et gréco-romaine
Fondements de la trigonométrie, méthodes de calcul astronomique encore étudiées aujourd'hui
Hipparque de Nicée : époque et parcours
Né à Nicée, en Bithynie (actuelle Turquie), Hipparque mène l'essentiel de ses recherches à Rhodes, où il aurait disposé d'un observatoire. Son activité s'inscrit dans la période hellénistique, une époque marquée par une intense circulation des savoirs entre mathématiques, astronomie et géographie.
C'est dans ce contexte que des figures comme Ératosthène, avec sa mesure de la circonférence terrestre, ou Archimède, avec ses travaux en mécanique et en géométrie, contribuent à faire progresser les sciences exactes grecques.
Un astronome avant d'être présenté comme un « trigonomètre »
Il faut resituer les travaux d'Hipparque dans leur contexte d'origine : il ne cherchait pas à fonder une discipline mathématique autonome, mais à résoudre des problèmes concrets d'astronomie.
Mesurer la position des astres, prévoir certains phénomènes célestes, étudier les éclipses ou déterminer des coordonnées célestes : voilà les questions qui l'occupaient. Ses outils géométriques, hérités en partie de la tradition inaugurée par Euclide dans ses Éléments, lui servaient avant tout à répondre à ces enjeux pratiques.
Des sources anciennes incomplètes
La plupart des écrits originaux d'Hipparque ont disparu. Ce que l'on sait de ses méthodes provient essentiellement des références faites par Ptolémée dans son Almageste, ainsi que de témoignages d'auteurs anciens et de travaux d'historiens des mathématiques. Il convient donc de rester prudent : certains éléments attribués à Hipparque relèvent davantage de reconstructions historiques que de certitudes absolues.
Pourquoi la trigonométrie est-elle née de l'astronomie ?
Les observations célestes posent très tôt un problème concret : convertir des angles en longueurs mesurables2.
🔭 Mesurer le ciel avec la géométrie
Les astronomes antiques devaient convertir des observations angulaires en longueurs mesurables. La géométrie du cercle, déjà largement étudiée depuis Platon et développée rigoureusement par Euclide, offrait un modèle particulièrement adapté pour représenter la sphère céleste. Elle permettait, par exemple, de mesurer la distance apparente entre deux astres, de calculer la hauteur d'un astre au-dessus de l'horizon ou d'étudier les positions du Soleil et de la Lune.
⚠️ Les limites des méthodes purement géométriques
Les constructions géométriques seules, aussi élégantes soient-elles, montrent vite leurs limites lorsque les calculs se multiplient. Une table numérique permet de gagner en rapidité et en précision, un enjeu que l'on retrouve également chez Hipparque et chez ses successeurs astronomes.
📐 De la géométrie aux tables de calcul
La méthode suivie repose sur cinq étapes : représenter un angle dans un cercle, associer à cet angle une longueur, calculer cette longueur, compiler les résultats dans une table, puis utiliser cette table pour résoudre des problèmes astronomiques concrets.
La table des cordes : la contribution majeure d'Hipparque
C'est cet outil précis, aujourd'hui largement reconstitué par les historiens, qui vaut à Hipparque sa réputation de précurseur.
Qu'est-ce qu'une corde dans un cercle ?
Une corde est un segment reliant deux points d'un cercle, déterminé par l'angle au centre qui intercepte l'arc correspondant. Plus l'angle augmente, plus la corde s'allonge, jusqu'à atteindre la longueur du diamètre pour un angle plat.
Le principe de la table des cordes
Une table des cordes associe à différents angles la longueur de la corde correspondante, généralement dans un cercle de rayon donné.
| Angle au centre | Longueur de la corde, pour un rayon donné |
|---|---|
| Petit angle | Corde courte |
| Angle droit | Corde égale à la diagonale du carré inscrit |
| Angle plat | Corde égale au diamètre |
Il faut souligner que les détails exacts de la table originale d'Hipparque ne sont pas entièrement conservés ; les valeurs historiques précises restent incertaines.
Le lien entre corde et sinus
D'un point de vue mathématique moderne, la relation s'écrit ainsi : corde(θ) = 2R × sin(θ/2)3, où R est le rayon du cercle et θ l'angle au centre.
Autrement dit, la corde d'un angle est directement liée au sinus de son demi-angle. Hipparque n'utilisait évidemment pas cette notation moderne, mais sa méthode constitue un ancêtre direct des tables trigonométriques.
Hipparque a-t-il réellement inventé la trigonométrie ?
Le titre de « père de la trigonométrie » mérite d'être nuancé pour éviter tout raccourci historique.
Pourquoi lui attribue-t-on le titre de « père de la trigonométrie » ?
Ce titre s'explique par plusieurs éléments : l'utilisation systématique de relations entre angles et longueurs, le développement supposé d'une table des cordes, l'application de ces calculs à l'astronomie, et une influence durable sur les travaux ultérieurs. Il marque le passage d'une géométrie principalement démonstrative, celle qu'avait formalisée Euclide, à une géométrie également numérique et appliquée.
Une invention collective et progressive
Il faut néanmoins nuancer l'expression « inventeur de la trigonométrie ». Cette discipline résulte d'un long processus : la géométrie grecque avant Hipparque, ses propres travaux sur les cordes, la trigonométrie sphérique de Ménélas, la synthèse astronomique de Ptolémée, le développement du sinus en Inde, la transmission par les savants du monde islamique, puis la formalisation européenne des fonctions trigonométriques modernes.
Ce qui distingue la trigonométrie antique de la trigonométrie moderne
| Trigonométrie antique | Trigonométrie moderne |
|---|---|
| Fondée sur les cordes d'un cercle | Fondée sur sinus, cosinus et tangente |
| Principalement utilisée en astronomie | Utilisée en sciences, ingénierie, physique et informatique |
| Calculs sous forme de tables | Fonctions, formules et calcul numérique |
| Géométrie des figures et de la sphère | Fonctions définies sur les angles et les nombres réels |
Les applications astronomiques des travaux d'Hipparque
Au-delà de la théorie, Hipparque a mis ses outils mathématiques au service d'observations astronomiques concrètes.
Calculer les positions des astres
Les relations entre angles et cordes permettaient de localiser les astres sur la sphère céleste avec une précision inédite pour l'époque.
Étudier les éclipses
En combinant l'alignement du Soleil, de la Terre et de la Lune, la comparaison des diamètres apparents et le calcul des distances angulaires, Hipparque pouvait approcher certains phénomènes d'éclipse. Il ne faut cependant pas affirmer qu'il pouvait les prévoir avec la précision moderne.
La précession des équinoxes
Cette découverte majeure lui est attribuée : le déplacement lent des points équinoxiaux, identifié en comparant des observations anciennes et contemporaines. Cette avancée, essentielle pour la précision des cartes du ciel, montre que ses travaux dépassaient largement la seule construction d'une table mathématique.
Les coordonnées célestes et la cartographie du ciel
Latitude céleste, longitude céleste, catalogues d'étoiles : autant de notions qui nécessitaient des calculs angulaires fiables, dans la continuité des travaux de cartographie initiés par Ératosthène à l'échelle terrestre.
De la table des cordes d'Hipparque à la trigonométrie de Ptolémée
Trois siècles plus tard, un autre astronome reprend et systématise ces méthodes.
Ce que Ptolémée a repris et développé
Au IIe siècle de notre ère, Ptolémée présente dans l'Almageste une trigonométrie des cordes plus complète4 et mieux documentée, probablement influencée par les travaux antérieurs d'Hipparque.
Pourquoi Ptolémée est mieux documenté qu'Hipparque
L'œuvre de Ptolémée nous est parvenue de façon beaucoup plus complète, ce qui explique pourquoi l'histoire de la trigonométrie lui est parfois davantage associée, alors qu'Hipparque aurait joué un rôle précurseur essentiel.
La chaîne de transmission jusqu'aux sinus modernes
Voici comment la table des cordes d'Hipparque a fini par basculer sur la trigonométrie moderne
Antiquité grecque (géométrie du cercle et cordes)
Géométrie du cercle et cordes
Hipparque
Premières tables de cordes attribuées à l'astronomie
Ménélas et Ptolomée
Trigonométrie sphérique
Mathématiciens indiens
Table de sinus
Savant arabes
Transmission, traduction, enrichissement
Europe médiévale et moderne
Formalisation des fonctions trigonométriques
Ce qu'Hipparque a apporté aux mathématiques
Au-delà de la table des cordes, c'est toute une démarche scientifique qu'Hipparque contribue à installer dans les mathématiques grecques.
📊 La transformation d'un problème géométrique en calcul numérique
Sa démarche suit une logique claire : modéliser un phénomène réel par une figure, établir une relation géométrique, calculer des valeurs, organiser ces valeurs dans une table, puis réutiliser les résultats pour d'autres problèmes. Cette méthode annonce, plusieurs siècles à l'avance, la façon dont les sciences exactes articuleront géométrie et calcul numérique.
📐 La recherche de la précision
Les observations astronomiques d'Hipparque exigent une rigueur constante : mesurer des angles, comparer des positions célestes sur de longues périodes, corriger les écarts entre théorie et observation. Cette exigence de précision, encore approximative selon les standards actuels, pose les bases d'une astronomie mathématique fondée sur la vérification empirique plutôt que sur la seule spéculation.
📚 Une influence qui dépasse la trigonométrie
Catalogues d'étoiles, géographie mathématique, coordonnées terrestres et célestes, calendrier : l'héritage d'Hipparque irrigue plusieurs domaines des mathématiques grecques, dans la même veine que les apports de Pythagore en arithmétique ou d'Aristote en logique naturelle. Son étude des mouvements apparents du Soleil et de la Lune, associée à des méthodes d'observation systématiques, influencera durablement les astronomes qui lui succèdent.
Chronologie de la naissance de la trigonométrie
Avant le IIᵉ siècle av. J.-C
Géométrie grecque
Étude des figures, cercles et rapports, sans outil trigonométrique dédié.
IIᵉ siècle av. J.-C
Hipparque
Élaboration de tables de cordes et applications astronomiques.
Iᵉʳ siècle av. J.-C. / IIᵉ siècle
Ménélas et Ptolémée
Développement de la trigonométrie sphérique et de tables plus complètes.
Antiquité indienne
Mathématiciens indiens
Introduction des tables de sinus, plus proches des fonctions actuelles.
Moyen Âge
Savants du monde islamique
Généralisation des fonctions trigonométriques et des méthodes de calcul.
Époque moderne
Mathématiciens européens
Formalisation des fonctions trigonométriques telles qu'utilisées aujourd'hui.
La trigonométrie est née de besoins concrets en astronomie : mesurer des angles, prévoir des positions célestes, organiser des observations sous forme de tables exploitables. Hipparque a contribué à son émergence grâce à la géométrie du cercle et à l'invention d'une table des cordes, premier outil systématique permettant de relier angles et longueurs.
Son rôle est fondateur, mais il s'inscrit dans une histoire collective qui traverse les civilisations : les notions modernes de sinus, cosinus et tangente sont le résultat d'une évolution longue, enrichie par les mathématiciens grecs, indiens, puis arabes, avant d'être formalisées par les Européens.
Pour prolonger cette exploration, on peut se tourner vers la trigonométrie sphérique développée par Ptolémée dans l'Almageste, ou encore vers l'histoire des mathématiques indiennes et arabes, qui ont transformé les tables de cordes antiques en véritables fonctions trigonométriques.
References
- Mark, Joshua J. « Hipparque de Nicée ». World History Encyclopedia, 20 sept. 2023, https://www.worldhistory.org/trans/fr/1-11845/hipparque-de-nicee/. Consulté le 9 septembre 2026.
- Ycart, Bernard. « Histoires de Mathématiques. Astronomie. Mesurer des triangles ». Publimath, ADIREM-APMEP, 2020, https://publimath.fr/wvm20018/. Consulté le 9 septembre 2026.
- Tangente Magazine. « Table des cordes : origines de la trigonométrie ». 16 mars 2026, https://tangente-mag.com/articles/glossaire-table-des-cordes. Consulté le 9 septembre 2026.
- Cartwright, Mark. « Claude Ptolémée ». World History Encyclopedia, 16 sept. 2023, https://www.worldhistory.org/trans/fr/1-19480/claude-ptolemee/. Consulté le 9 septembre 2026.
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