Définition

Un cercle est une figure plane regroupant l'ensemble des points équidistants à un point donné. Ce point est appelé le centre du cercle. Le cercle peut se dessiner via un compas. Ce dernier permettra en fixant le centre, de dessiner l'ensemble des points situés à équidistance de ce centre. La seule différence entre les cercles se définit par rapport au rayon et donc par rapport à la taille du cercle. On définit les éléments suivants pour un cercle :

  • Le rayon correspond à un segment reliant le centre et un point du cercle
  • Le diamètre correspond à un segment reliant deux points du cercle en passant obligatoirement par le centre. Sa distance correspond à deux fois celle du rayon
  • Une corde est un segment reliant deux points du cercle
  • Un arc de cercle correspond à une partie du contour du cercle
  • Le périmètre d'un cercle correspond à la longueur du contour du cercle. Ce dernier se calcule via la formule suivante : Périmètre = 2*π*R avec R étant le rayon du cercle
  • L'aire d'un cercle correspond au volume situé à l'intérieur du cercle. Il se calcule via la formule suivante : Aire = π*R*R avec R étant le rayon du cercle
Quels sont les éléments caractéristiques du cercle ?
Représentation des différentes propriétés du cercle
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Tangente à un cercle

Soit A un point du cercle C de centre O. La tangente au cercle en A est la droite passant uniquement par le point A du cercle. Cette tangente au cercle entraine certaines propriétés :

  • Grâce au point A du cercle C de centre O, on peut construire le segment [OA]. La tangente au cercle sera forcément la droite correspondant à la perpendiculaire du segment [OA]. On pourra ainsi la tracer en dessiner la droite perpendiculaire au rayon [OA] passant par A.
  • Par la réciproque, si une droite est perpendiculaire au segment [OA], cela correspond forcément à la tangente au cercle en A

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Angles inscrits et angles au centre

 Théorème de l'angle au centre : 

Soit H un point du cercle C de centre O. Soient A et B deux points distincts sur le cercle. Si les angles AHB et AOB interceptent le même arc de cercle correspondant à AB, alors on a  : 2\widehat{AHB} = \widehat{AOB}

Théorème de l'angle inscrits

Soit M un point du cercle C de centre O et de rayon R. Soient A et B deux points distincts sur le cercle. L'angle \widehat{AMB} est inscrit dans le cercle.

Qu'est-ce qu'un angle inscrits ?
Représentation de l'angle inscrit et l'angle au centre

Triangle rectangle et cercle

En cours de maths en ligne, on dit qu'un triangle est circonscrit à un cercle lorsque ce dernier est compris à l'intérieur du cercle.  Les trois points du triangle correspondent alors à 3 points du cercle C.

Si un triangle rectangle est circonscrit à un cercle, alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit. Par ailleurs :

  • Le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle correspond au point O à savoir le centre du cercle C
  • La longueur du segment correspondant au sommet de l’angle droit a la même longueur que la moitié de l'hypoténuse et donc par conséquent la même longueur que le rayon du cercle.

Par réciproque, si un triangle est circonscrit au cercle de centre O, et que l'hypoténuse de ce triangle correspond au diamètre du cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.

Comment représenter un triangle rectangle circonscrit au cercle ?
La droite AB passe par le centre du cercle. AB est un diamètre du cercle.

Exercices corrigés

Exercices

Exercice 1 : Soit un quadrilatère ABCD formé tel que les droites (BD) et (CD) sont tangentes au cercle de centre A. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 2 : 

  • Soit C un cercle de centre A et de rayon R = 5cm.
  • Soit EF un diamètre du cercle C.
  • Soit M un point du segment [AE] tel que AM = 4cm.
  • Soit P un point du cercle tel que MP = 3cm

Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle en M

 

Exercice 3 :

Soit le cercle C de centre O et soient les points R,P et M des points sur le cercle C. On représente ces points sur la figure suivante :

Comment représenter les angles inscrits au cercle ?
Les points R,P,M du cercle

1. On sait que l'angle \widehat{ROP} mesure 60 degrés. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{RMP}

2. a) Déterminer la représentation de l'arc de cercle intercepté par l'angle inscrit \widehat{RPM}

b) Déterminer à quel angle est associé l'angle au centre \widehat{ROM}

c) En sachant que l'angle \widehat{RPM} mesure 100 degrés, déterminer la mesure de l'angle au centre associé à l'angle \widehat{RPM}

 

Corrigés

Exercice 1 :

On a A le centre du cercle C. La droite (BD) étant tangente au cercle de centre A, on a alors une perpendiculaire entre le longueur venant de A et la droite (BD). Concernant la droite (CD), cette dernière étant également la tangente au cercle de centre A, on a également une deuxième perpendiculaire.

On a donc deux droites perpendiculaires et deux distances correspondant au rayon et étant par conséquent de même longueur. Cela correspond à la définition du carré.

Le quadrilatère ABCD est donc un carré.

 

Exercice 2 :

1. Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore. D'après ce dernier, un triangle ABC est rectangle lorsque la somme AB^{2} +AC^{2} = BC^{2} avec BC étant l'hypoténuse du triangle.

P étant un point du cercle, la longueur AP est égale au rayon du cercle à savoir AP = 5cm. On souhaite désormais vérifier par le théorème de Pythagore si le triangle est rectangle.

AM^{2} + MP^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25

AP^{2} = 5^{2} = 25

On a bien AP^{2} = AM^{2} + MP^{2}. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en M.

 

Exercice 3 :

1. La mesure de l'angle \widehat{ROP} correspond à la mesure de l'angle au centre et est associé l'angle inscrit \widehat{RMP}.  La mesure de l'angle \widehat{RMP} est donc égal à la mesure de l'angle \widehat{ROP} soit 60 degrés.

2.a. La représentation de l'arc de cercle de l'angle \widehat{RPM} correspond simplement à l'arc  de cercle allant du point R jusqu'au point M (en passant par le point P).

2.b. Pour déterminer l'angle au centre associé à l'angle \widehat{RPM}, il faut dans un premier temps tracer les deux segments RO et OM. Une fois ces segments tracés, l'angle au centre de RPM représente le grand angle de ROM.

2.c. D'après la formule de l'angle au centre, la mesure de RPM est égal à la moitié de la mesure de l'angle au centre ROM. On obtient ainsi

\widehat{RPM}= \frac{\widehat{ROM}}{2} \Leftrightarrow \widehat{ROM} = 2*\widehat{RPM} = 2*100 = 200 degrés.

La mesure de l'angle ROM est donc égale à 200 degrés.

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