Exercice 1

Ecrire plus simplement :

a. exe2x + 1

b. ex + 2 / ex

c. (ex +e2x
+ 1)²

The best Maths tutors available
1er cours offert !
Houssem
5
5 (105 reviews)
Houssem
70€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (78 reviews)
Anis
80€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (95 reviews)
Greg
120€
/h
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (86 reviews)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 reviews)
Grégory
105€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (78 reviews)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 reviews)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (40 reviews)
Pierre-thomas
80€
/h
1er cours offert !
Houssem
5
5 (105 reviews)
Houssem
70€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (78 reviews)
Anis
80€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (95 reviews)
Greg
120€
/h
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (86 reviews)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 reviews)
Grégory
105€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (78 reviews)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 reviews)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (40 reviews)
Pierre-thomas
80€
/h
First Lesson Free>

Exercice 2

Démontrer que la fonction
suivante est constante :
f(x) = e-2x – (e2x
+ 1) / e2x

Exercice 3

Posons f(x) = (1 – ex)
/ (ex + 1).

1. Démontrer que f(x)
= (1 – e-x) / (1 + e-x).

2. Montrer que f est
dérivable sur R.

3. Calculer sa dérivée.

Exercice 4

Résoudre dans R les
inéquations suivantes :

a. ex – 1 >
0

b. (ex + 3) / (ex
+ 1) > 2

c. ex -e2x < 0

d. e2x + 5 <
ex + 1

Exercice 5

Calculer les limites
suivantes :

a. lim ex² - 2x
quand x tend vers + ∞.

b. lim ex² – 2x
quand x tend vers - ∞.

c. lim 2 + e-x²
quand x tend vers + ∞.

d. lim (e x -
3)/ (e x + 1) quand x tend vers - ∞.

e. lim (ex + 1) /
e2x quand x tend vers
0.

Exercice 6

Posons f(x) = 2x + 1 – ex
/ (ex + 1).

Déterminer deux
asymptotes obliques à la courbe C de f (donner les équations).

Correction de l'exercice 1

a. exe2x + 1 =
e3x + 1

b. ex + 2 / ex =

c. (ex +e-x)²
= e2x + e-2x + 2

Correction de l'exercice 2

f(x) = e-2x –
(e2x + 1) / e2x = e-2x – (e2x
+ 1) * e-2x = -1
Donc f est constante.

Correction de l'exercice 3

1. f(x) = (1 – ex)
/ (ex + 1) = [ex(1 – 1/ex)] /
[ex(1 + 1/ex)] = (1 – e-x) / (1 +
e-x)

2. f est définie sur
R, et est le quotient de fonctions dérivables sur R.

Donc f est dérivable
sur R.

3. f'(x) = (ex(ex
+ 1) - (ex – 1)ex) / (ex + 1)²
= 2 ex / (ex + 1)²

Correction de l'exercice 4

a. ex – 1 >
0 donc ex > 1
Or 1 = e0, par
conséquent, x > 0.

b. (ex + 3) / (ex
+ 1) > 2
Quelque soit x, ex
+ 1 > 0.
On peut donc avoir :

(ex + 3) >
2 (ex + 1)
ex + 3 >
2ex + 2
ex < 1

On a par conséquent,
x < 0.

c. ex -e2x < 0
ex est une
fonction croissante sur R. Ainsi l'inéqalité est vraie
pour tout x de [0 ; +∞[.

d. e2x + 5 <
ex + 1
2x + 5 < x + 1, car la
fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
On a donc : x < -4.

Correction de l'exercice 5

a. lim ex² – 2x
tend vers +∞
quand x tend vers +∞.

b. lim ex² – 2x
tend vers +∞
quand x tend vers - ∞.

c. lim 2 + e-x²
tend vers 2 quand x
tend vers + ∞.

d. lim (e x -
3)/ (e x + 1) = (1 -
3/e x)/ (1+ 1/e x)

donctend
vers -3quand x tend vers
- ∞.

e. lim (ex + 1) /
e2x = 2quand x tend vers
0, car lim ex = 1 quand x tend vers 0.

Correction de l'exercice 6


f(x) = 2x + 1 – ex / (ex + 1)

Quand x tend vers -∞,
on a :
lim
ex = 0, donc lim (ex + 1) = 1 quand x tend vers
0.
Par
conséquent, ex / (ex + 1) tend vers 0
quand x tend vers -∞.
Ainsi,
.
g(x)
= 2x + 1 est donc une asymptote oblique à f en -∞.

Quand
x tend vers +∞, la limite de ex / (ex + 1)
est indéterminée.
Or ex / (ex
+ 1) = ex / (ex(1 + e-x)) = 1 / (1 +
e-x).
Par
conséquent, lim 1 / (1 + e-x) quand x tend vers +∞
= 1.
On
a alors :
h(x)
= 2x est donc une asymptote oblique à f en +∞.

Need a Maths teacher?

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !