Exercice 1

En analyse, les séries de Fourier sont un outil
fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce
concept que s'est développé la branche des mathématiques connue sous le nom
d'analyse harmonique.

L'étude d'une fonction périodique
par les séries de Fourier comprend deux volets. L'analyse consiste en la
détermination de la suite de ses coefficients de Fourier. La synthèse permet de
retrouver, en un certain sens, la fonction à l'aide de la suite de ses
coefficients.

Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des
séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique et
les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de Fourier peut être
considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques.

Figure. Décomposition en spectres

Le premier graphe
donne l'allure du graphe d'une fonction périodique ; l'histogramme donne les
valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes
fréquences.

Les séries de Fourier se
rencontrent usuellement dans la décomposition de signaux périodiques, dans
l'étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse
sonore, le traitement d'image...l’étude numérique des écoulements compressibles 

On rappelle que le développement
en série de Fourier d’une fonction fT-périodique s’écrit (cours Mathématiques - BTS CIRA ):

les coefficients de Fourier an
et bn et cn sont donnés par ;

 

sif est
paire alors pour tout entier naturel n on a : bn = 0

sif est
impaire alors pour tout entier naturel n on a : an = 0

On donne la Formule de
Parseval ;

(ou on
intègre entre 0 et T)

On se propose dans cet exercice de décomposer en série de
Fourier une fonction périodique f.

Soit f une fonction de période 2p, définie par ;

1) Donner la représentation graphique de la fonction f
dans un repère orthonormé

2) Calculer les coefficients de Fourier an
et bn de la fonctionf.

3) Ecrire le développement en série de Fourier de f.

4) En déduire la somme

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Exercice 2

Développement en série de Fourier :

Développer en série de Fourier la
fonction f périodique de période 2 et tel que pour tout réel x de
l'intervalle [0 ; 2[ on a :

f(x) = x(2 - x).

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !