Exercice 1

Soit f(x) = 1 / x.

Compléter le tableau suivant :

Qu'en déduisez vous ?

Exercice 2

Calculer les limites des fonctions
suivantes, en 0, +∞ et -∞ :

a.
f(x) = 5 / x
b.
g(x) = 2x + 2
c.
h(x) = -2(x² + 1)
d.
j(x) = √x
e.
k(x) = x / x²
f.
m(x) = x(x + 1)

Exercice 3

Calculer les limites des fonctions
suivantes :

a. f(x) = (x + 1) / (x – 2) en -∞.
b. g(x) = (x – 5)(-x + 2) en +∞.
c. h(x) = (x² + 2x + 1) / (x –
2) en +∞.

Exercice 4

Pour
tout x réel on pose : f(x) = (x² – 4x + 3) / (x + 1).

1.
Quel est l'ensemble de définition de f ?
2.
Déterminer a, b, c tel que l'on ait : f(x) = ax + b + c / (x +
1).
3.
D'après la question précédente, déterminer
une droite asymptote à la courbe, et déterminer sa
position.

Correction de l'exercice 1

On en déduit que lorsque x tend
vers 0, alors f(x) tend vers +∞,
et lorsque x tend vers +∞,
alors f(x) tend vers 0.
Etant
donné que f(-x) = -x, donc que f est une fonction impaire, on
peut également dire que : lorsque x tend vers 0, alors f(x)
tend vers -∞, et lorsque x tend vers -∞, alors f(x) tend vers 0.

Correction de l'exercice 2

Calculer les limites des fonctions
suivantes, en 0, +∞ et -∞ :

a.
f(x) = 5 / x

b.
g(x) = 2x + 2

c.
h(x) = -2(x² + 1)

d.
j(x) = √x

La
fonction racine carrée n'est pas définit en ]-∞; 0[,
par conséquent elle n'admet pas de limite en -∞.

e.
k(x) = x / x² = 1 / x

f.
m(x) = x(x + 1)

Correction de l'exercice 3

a. f(x) = (x + 1) / (x – 2) en -∞.

b. g(x) = (x – 5)(-x + 2) en +∞.

c. h(x) = (x² + 2x + 1) / (x –
2) en +∞.

Correction de l'exercice 4

Pour
tout x réel on pose : f(x) = (x² – 4x + 3) / (x + 1).

1.
f est définit sur R{-1}.

2.
Déterminons a, b, c tel que f(x) = ax + b + c / (x + 1) :
f(x)
= ((ax + b)(x + 1) + c ) / (x + 1)
f(x)
= (ax² + (a + b)x + b + c) / (x + 1)

On
a alors :
a =
1
a +
b = -4
b +
c = 3

Ainsi
on a, a = 1, b = -5, c = 8.

3.
D'après la question précédente, on obtient :
f(x) = x – 5 + 8 / (x + 1).

Or
.

Par
conséquent, la droite d'équation g(x) = x – 5 est une
asymptote oblique à f(x) en +∞ et en -∞.

La
position de l'asymptote se calcule selon le signe de f(x) – (x –
5) = 8 / (x + 1).

Ainsi,
sur ]-∞; -1[, l'asymptote se situe au dessus de f, et sur ]-1; +∞[,
l'asymptote se situe en dessous de f.

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Mathieu

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