Exercice

A partir de la fonction caré, tracer la représentation graphique Cf  de chaque fonction f, dans le repère orthonormal (o,i,j). Déduire de cette représentation graphique le sens de variation de f.

1. f(x) = 2x² - 8x + 1                                                        2. f(x) = -3x² - 3x - 2

Correction

1. Utilisons la forme canonique de f. Le coefficent de x² étant 2, il est préférable de factoriser de l'expression de f par 2.

On obtient : f(x) = 2 (x² - 4x + 1/2) = 2 [ (x - 2)² - 7/2].

La fonction h définie par h(x) = (x - 2)² s'obtient par translation de vecteur 2i de la représentation graphique de la fonction carré g. Il faut ensuite effectuer une translation de vecteur -7/2j pour obtenir la courbe intermédiaire Ck puis tracer point par point le graphe de f en multipliant chaque ordonnée de Ck par 2.

Le graphe s'obtient donc par translation de vecteur u = 2i -7/2j du graphe de la focntion carré Cg, puis en multipliant chaque ordonnée par 2. On obtient alors le graphe ci-contre qui permet de conclure que f est croissante sur [2 ; +l'infinie[ et décroissante sur ]-l'infinie ; 2].

2. Avec le même raisonnement qu'à la question précedente , on obtient :

f(x) = -3 (x² + x + 2/3) = -3 [ (x+ 1/2)² + 5/12].

La fonction h définie par h(x) = (x+ 1/2)² s'obtient par translation de vecteur -1/2 i de la représentation graphique  Cg de la fonction carré g.

Il faut ensute effecteure une translation de vecteur 5/12 j pour obtenir la courbe intermédiaire Ck, puis tracer point par point la courbe Cf  en multipliant chaque ordonnée de Ck par -3.

Cf  s'obtient donc par translation de vecteur u = -1/2 i + 5/12 j de la représentation graphique Cg de la fonction carré, puis en multipliant chauqe ordonnée par -3.

On obtient alors le graphe ci-après qui permet de conclure que f est croissante sur ]-l'infinie ; -1/2] et décroissante [-1/2 ; +l'infinie[.

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Mathieu

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