La fonction

(ex)'=ex

or, ∀x appartenant à IR, ex>0

donc x→ex est strictement croissante sur IR

V(+∞) :

Démontrer :

que [0;+[, ex>x

ce qui vaux à démontrer :

∀x appartenant à [0;+∞[, ex-x>0

Posons f définie dérivable sur [0;+∞[ par f(x)=ex-x

f'(x)=ex-1

f'(x)=0 <=> ex=1 <=> x=0

x≥0 => ex≥e0 => ex≥1 => f'(x)≥0

f(0)=e0-0=1

donc f(x)>0

∀x≥0, ex>x

et lim x=+∞ donc lim ex=+∞

x→+∞ x→+∞

V(-∞) :

ex=1/(e-x)

e-x : x → -x

X → ex

lim -x=+∞ et lim ex=+∞ , lim e-x=+∞

x→-∞ x→+∞ x→∞

par limite des fonctions composée, on a

lim 1/(e-x)=0

x→-∞

donc lim 1/(e-x)=0

x→∞

Courbe de x→ex et tangente en 0 et en 1

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C'est parti

Les tangentes

tangente en 0 : coef directeur égale e0=1

tangente en 1 : coef directeur égale e1=e

La dérivée de x→ex est x→ex

donc une primitive de ex est ex, sur IR

Soit u une fonction définie dérivable sur I

x→eu(x)

X→ex

u est dérivable sur I, et u(x) appartient a IR

X→ex ext dérivable sur IR

donc, par composition

x→eu(x) est dérivable sur I

est (eu(x))'=u'(x)*eu(x)

(ex)=ex (eu)'=u'*eu

Les cas indéterminés

a) V(0) : (ex-1)/x

lim ex-1=e0=0 car x→ex-1

x→0 (continue)

lim x=0

x→0

se qui nous donne une F,I du type «0/0»

(ex-1)/x est le taux de variation de x→ex

en effet (ex-1)/x=(ex-e0)/(x-0)

or la fonction x→ex est dérivable en 0,

donc ce taux a pour limite le nombre dérivé en 0, c'est-à-dire e0, soit 1

lim (ex-1)/x=1

x→0

b) V(+∞) : ex/x

F,I «+∞/+∞»

Démontrer que :

∀x appartenant à ]0;+∞[,, (ex/x)>x/2

<=> ∀x appartenant à ]0;+∞[, ex>x²/2

<=> ∀x appartenant à ]0;+∞[, ex-(x²/2)>0

Soit f définie sur [0;+∞[ par f(x)=ex-(x²/2)

f'(x)=ex-x

Voir partie III, on a : ∀x appartenant à ]0;+∞[, ex>x

donc :

Donc ∀x appartenant à ]0;+∞[,, (ex/x)>(x/2)

Or lim x/2=+∞

x→∞ limite par croissance comparée

donc lim ex/x=+∞

x→∞

Généralisation

lim ex/en=+∞ , n≥1 «l'exponentielle l'emporte sur xn»

c) V(-∞) : xex

lim x=-∞

x→-∞

lim ex=0

x→-∞

xex=x/e-x

=-x/e-x

or: -x/e-x:→-x

X→X/ex

lim -x=+∞

x→-∞

et lim X/ex=0 , par croissance comparée

x→-∞

donc limite de la fonction composée

lim -x/e-x=0

x→-∞

lim xex=0

x→-∞

lim xnex=0 «l'exponentielle l'emporte sur xn»

x→-∞

Pour lever des indétermination, on peut transformer les expressions de façon à faire apparaître les formes ex/xn, xnex

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !