LES COMPÉTENCES À AVOIR EN MATHÉMATIQUES POUR LE DEVOIR SUR LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE, ET SUR LES LIMITES ET CONTINUITÉ.

LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE.

1 : Étudier le sens de variation d'une suite.

Pour étudier le sens de variation d'une suite ( un ), on peut :

- Étudier le signe de un+1 – un.

- Si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1 / un et le réel 1.

- S'il existe une fonction f telle que pour tout n, un = f(n), étudier les variations de la fonction f.

2 : Factoriser an – bn.

Pour tout entier non nul, n, : an – bn = ( a – b ) x P où P est la somme de tous les nombres aαbβ avec α et β des entiers naturels tels que α + β = n – 1.

EXEMPLE : a5 – b5 = ( a-b ) ( a4 + a3b + a²b² + ab3 + b4 )

→ Cette factorisation souvent utilisée, mérite d'être retenue.

3 : Rédiger une démonstration par récurrence.

QUAND UTILISER LA RÉCURRENCE ? : Pour démontrer qu'une proposition Pn est vraie pour tout entier n >= n0, lorsqu'on ne dispose pas de méthode directe. Inutile d'utiliser un tel raisonnement pour démontrer par exemple, que pour tout entier naturel n, ( n+1 )² = n² + 2n + 1.

P0, VRAIE, ÉTAPE ESSENTIELLE : EXEMPLE : Pn est la proposition « 7n + 1 est un multiple de 6 ». Si Pn est vraie, alors il existe un entier k tel que 7n + 1 = 6k. Comme 7n+1 = 7n x 7, alors 7n+1 +1 = ( 6k – 1 ) x 7 + 1 = 42k – 6 qui est aussi un multiple de 6.

Mais P0 n'étant pas vraie car 70+ + 1 = 2 n'est pas un multiple de 6, on ne peut pas en déduire que Pn est vraie pour tout n. D'ailleurs Pn n'est jamais vraie. En arithmétique, on démontre que 7n + 1 est congru à 2 ( mod 6 ), donc n'est jamais multiple de 6.

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LIMITES ET CONTINUITÉ.

1 : Étudier la position relative d'une courbe et de son asymptote horizontale.

Étudier la position de Cf, par rapport à son asymptote horizontale ∆ d'équation y = a revient à étudier le signe de f(x) – a.

2 : Trouver un réel A « assez grand » tel que x > A implique f(x) est dans l'intervalle de centre i, ] a ; b [.

→ VOIR DANS VOTRE BOUQUIN PAGE 23.

3 : Conjecturer des limites.

→ Voir cours. Vous devrez également être capable de montrer si une fonction possède une ou plusieurs asymptote verticale ou horizontale.

ATTENTION : Une conjecture n'est pas une vérité tant qu'elle n'est pas démontrée.

4 : Trouver x « assez proche » de 2.

La fonction f(x) = 1 / ( x – 2 )², définie sur IR {2} a pour limite +∞ en 2. Trouvez un intervalle I centré en 2, tel que pour tout x de I, x ≠ 2, f(x) > 100.

→ Dire que f(x) > 100 signifie que ( x – 2 )² < 0,01. La fonction racine carrée étant croissante, cela signifie que √( x – 2 )² < √0,01 donc que |x -2| < 0,1 ou encore -0,1 < x – 2 < 0,1. Il en résulte que si le réel x, x ≠ 2, est dans l'intervalle ] 1,9 ; 2,1 [, alors f(x) > 100.

5 : Lever une indétermination + lever une indétermination avec l'expression conjuguée.

→ VOIR LE COURS DE ROMAIN.

AUTRES NOTIONS À MAÎTRISER.

6 : Encadrer une fonction à l'infini.

7 : Encadrer une fonction à l'infini.

8 : Encadrer une fonction au voisinage de zéro.

9 : Étudier une fonction au voisinage de plus l'infini.

10 : Utiliser le théorème 4.

11 : Étudier la position relative d'une courbe et de son asymptote.

12 : Étudier la fonction racine carrée en zéro.

13 : Répondre à un questionnaire « Vrai ou Faux ».

14 : Résoudre une équation.

15 : Prouver qu'une équation n'a pas de solution.

Votre bouquin est la clé de la réussite, utilisez et n'hésitez pas à vous entraîner sur les exercices résolus.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !