Introduction

Une fonction numérique est un procédé mathématique qui associe à tout nombre x un unique nombre y. Pour comprendre une fonction, on étudie son signe, ses variations, ainsi que ses limites !

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Définitions et théorèmes

Qu'est ce qu'une limite ? Commençons par définir une limite de fonction et comprendre ce qu'elle représente.

Définitions

La limite de la fonction f au point a est notée

    \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)\]

Cela signifie que l'on prend x qui tend vers a, x le plus près possible du point a. On effectue souvent des limites quand x tend vers l'infini, c'est à dire qu'on prend x le plus grand possible et l'on cherche la valeur qu'atteint f(x).

Lorsque la limite en a est un nombre l réel, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est + ou -∞ alors f n'admet pas de limite finie.

La limite à droite de la fonction f est

    \[\lim_{x \rightarrow a+}f(x)\]

et la limite à gauche de f est

    \[\lim_{x \rightarrow a-}f(x)\]

Lorsque la fonction est continue en a,

    \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\lim_{x \rightarrow a+}f(x)=\lim_{x \rightarrow a-}f(x)=f(a)\]

Très souvent, les fonctions que nous étudions en terminale sont continues. Ainsi, les limites qui vont nous intéresser sont en +, en -, ou tout autre point où la fonction n'est pas continue.

Lorsque la fonction n'est pas défini au point a, on ne peut pas toujours calculer la limite au point a. Ainsi, on calcule les limites à gauche et à droite. Il est possible qu'elles soient différentes.

Opérations sur les limites

Afin d'étudier les limites, il faut connaître certaines opérations les concernant.

Limite d'une somme :

lim UnLLL+∞+∞
lim VnL'+∞-∞+∞-∞
lim (Un+Vn)L+L'+∞-∞+∞forme indéterminée

Limite d'un produit :

lim UnLL>0L>0L<0L<0+∞+∞-∞0
lim VnL'+∞-∞+∞-∞+∞-∞-∞+∞ ou -∞
lim (Un x Vn)L x L'+∞-∞-∞+∞+∞-∞+∞forme indéterminée

Limite d'un quotient :

lim UnLL+∞-∞L≠00+∞ ou -∞
lim VnL'≠0+∞ ou -∞L≠0L≠000+∞ ou -∞
lim (Un/Vn)L/L'0+∞ si L>0
-∞ si L<0
-∞ si L>0
+∞ si L<0
+∞ ou -∞forme indéterminéeforme indéterminée

Limite d'une fonction composée :

Soient a,b et c trois nombres, soit réels soit valant + ou -. Si

    \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=b\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow b}g(x)=c\]

alors

    \[\lim_{x \rightarrow a}g(f(x))=c\]

Théorèmes

Théorème de comparaison :

Soient f et g deux fonctions telles que

    \[f(x)\leq g(x)\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\]

alors

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty\]

Soient f et g deux fonctions telles que

    \[f(x)\geq g(x)\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty\]

alors

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty\]

Théorème des gendarmes :

Soient f, g et h trois fonctions telles que

    \[f(x)\leq g(x)\leq h(x)\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=l\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=l\]

alors

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=l\]

Asymptotes

Lorsque

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=l\]

ce qui revient à

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-l=0\]

ou lorsque

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=l\]

la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y=l.

Lorsque

    \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty & ou & -\infty\]

la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=a.

Qu'est ce qu'une asymptote ? La fonction inverse est parfaite pour comprendre les asymptotes. Ses limites en + et - l'infini font 0, on a donc une asymptote horizontale d'équation y=0. De même, nous avons précédemment étudié la limite de la fonction en 0+ et 0-. On peut en conclure que l'on a également une asymptote verticale, d'équation x=0.

Lorsque

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-(ax+b)=0\]

ou

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)-(ax+b)=0\]

on dit que la droite y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de f.

Quel lien entre limite et asymptote ? Voici un exemple d'asymptote oblique. On peut étudier la limite de f(x)-y pour le prouver.

Limites à connaître

Limites usuelles

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow 0+}\frac{1}{x}=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{1}{x}=-\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x}=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow 0+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\]

 

Soit n un entier supérieur à 1.

    \[\lim_{x \rightarrow + \infty}x^n=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow 0+}\frac{1}{x^n}=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{x^n}=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{1}{x^n}=0\]

Si n pair,

    \[\lim_{x \rightarrow - \infty}x^n=+\infty\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{1}{x^n}=+\infty\]

Si n impair,

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}x^n=-\infty\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{1}{x^n}=-\infty\]

Exponentielle et logarithme

Différentes limites sont à connaître concernant les logarithmes et les exponentielles.

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}\exp(x)=0\]

A quoi ressemble la fonction exponentielle ? Voici la représentation graphique de la fonction exponentielle. C'est une fonction toujours positive et qui croît très vite. On peut facilement observer les limites de la fonction.

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\exp(x)}{x}=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\exp(x)}{x^n}=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}x\times \exp(x)=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}x^n\times \exp(x)=0\]

 

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow 0-}\ln(x)=-\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow 0+}x\times \ln(x)=0\]

    \[\lim_{x \rightarrow 0+}x^n\times \ln(x)=0\]

Calculs de limites

  •     \[f(x)=x^{3}-6x+1\]

On cherche la limite en l'infini.

La fonction f est définie sur R et continue, c'est un polynôme. Un polynôme au voisinage de l'infini se comporte comme son terme de plus haut degré. Ici, les seules limites intéressantes à calculer sont en + ou - l'infini.

Ainsi,

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} x^3=+ \infty \]

De même,

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty} x^3=- \infty \]

 

  •     \[g(x)=\frac{3x^2+2x+1}{x^4+4x^2+2}\]

On cherche la limite en l'infini.

La fonction g est définie sur R (son dénominateur ne s'annule jamais) et g est continue sur son ensemble de définition. Une fonction rationnelle au voisinage de l'infini à le même comportement que le rapport du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.

D'où,

    \[\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x)=\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{3x^2}{x^4}\]

    \[=\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{3}{x^2}=3\times \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{x^2}=0\]

D'où la limite de la fonction g lorsque x tend vers l'infini est 0.

En tout point la fonction est continue donc la limite est triviale. Par exemple, regardons la limite lorsque x tend vers 0.

    \[\lim_{x \rightarrow 0}g(x)=g(0)=\frac{1}{2}\]

 

  •     \[h(x)=\frac{1}{-2x+6}\]

On cherche la limite en 3. En effet, h est une fonction définie et continue sur R-{3}, h n'est pas définie en 3. On regarde alors la limite à droite et à gauche lorsque x tend vers 3.

    \[\lim_{x \rightarrow 3+}-2x+6=0-\]

Donc

    \[\lim_{x \rightarrow 3+}h(x)=-\infty\]

d'après le cours.

    \[\lim_{x \rightarrow 3-}-2x+6=0+\]

D'où

    \[\lim_{x \rightarrow 3-}h(x)=+\infty\]

d'après le cours.

Donc la courbe représentative de la fonction possède une asymptote verticale d'équation x=3.

Comment étudier les limites d'une fonction ? En représentant la fonction dans un repère, on observe distinctement l'asymptote.

  •     \[i(x)=\frac{-3x+2}{\sqrt{-x}}\]

On cherche la limite en -. En effet, la fonction est définie sur R*- et continue sur ce même intervalle.

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}i(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{-3x}{\sqrt{-x}}\]

    \[=\lim_{x \rightarrow -\infty}3\sqrt{-x}=+\infty\]

Donc la limite de la fonction i lorsque x tend vers - est +.

    \[\lim_{x \rightarrow 0-}i(x)=\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{-3x}{\sqrt{-x}}+\frac{2}{\sqrt{-x}}\]

    \[=\lim_{x \rightarrow 0-}3\sqrt{-x}+\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{2}{\sqrt{-x}}=+\infty\]

Ainsi, la limite de la fonction i lorsque x tend vers 0- est +.

Donc la courbe représentative de la fonction possède une asymptote verticale d'équation x=0, c'est à dire l'axe des ordonnées.

Étudions une dernière fonction :

  •     \[j(x)=3x-\sqrt{x}\]

On souhaite la limite en l'infini. On ne peut effectuer directement la limite puisque l'on observe une forme indéterminée -.

Dans ce cas, on doit tourner la fonction autrement pour trouver une autre façon de calculer sa limite. Une méthode efficace et qui fonctionne ici est la factorisation.

    \[j(x)=3x-\sqrt{x}=\sqrt{x} (3\sqrt{x}-1)\]

On peut alors calculer la limite : le premier facteur tend vers l'infini et le deuxième tend également vers l'infini. Ainsi, grâce aux opérations que l'on connait sur les limites, on obtient que la limite de j(x) est +.

 

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