Chapitres
- 01. Introduction
- 02. Définitions et théorèmes
- 03. Limites à connaître
- 04. Calculs de limites
Introduction
Une fonction numérique est un procédé mathématique qui associe à tout nombre x un unique nombre y. Pour comprendre une fonction, on étudie son signe, ses variations, ainsi que ses limites !
Définitions et théorèmes
Définitions
La limite de la fonction f au point a est notée 
Cela signifie que l'on prend x qui tend vers a, x le plus près possible du point a. On effectue souvent des limites quand x tend vers l'infini, c'est à dire qu'on prend x le plus grand possible et l'on cherche la valeur qu'atteint f(x). Lorsque la limite en a est un nombre l réel, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est +∞ ou -∞ alors f n'admet pas de limite finie. La limite à droite de la fonction f est 
et la limite à gauche de f est 
Lorsque la fonction est continue en a, 
Très souvent, les fonctions que nous étudions en terminale sont continues. Ainsi, les limites qui vont nous intéresser sont en +∞, en -∞, ou tout autre point où la fonction n'est pas continue. Lorsque la fonction n'est pas défini au point a, on ne peut pas toujours calculer la limite au point a. Ainsi, on calcule les limites à gauche et à droite. Il est possible qu'elles soient différentes.
Opérations sur les limites
Afin d'étudier les limites, il faut connaître certaines opérations les concernant. Limite d'une somme :
| lim Un | L | L | L | +∞ | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| lim Vn | L' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ |
| lim (Un+Vn) | L+L' | +∞ | -∞ | +∞ | forme indéterminée |
| lim Un | L | L>0 | L>0 | L<0 | L<0 | +∞ | +∞ | -∞ | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| lim Vn | L' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ |
| lim (Un x Vn) | L x L' | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | +∞ | -∞ | +∞ | forme indéterminée |
| lim Un | L | L | +∞ | -∞ | L≠0 | 0 | +∞ ou -∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| lim Vn | L'≠0 | +∞ ou -∞ | L≠0 | L≠0 | 0 | 0 | +∞ ou -∞ |
| lim (Un/Vn) | L/L' | 0 | +∞ si L>0 -∞ si L<0 | -∞ si L>0 +∞ si L<0 | +∞ ou -∞ | forme indéterminée | forme indéterminée |
et 
alors 
Théorèmes
Théorème de comparaison : Soient f et g deux fonctions telles que [f(x)leq g(x)] et 
alors 
Soient f et g deux fonctions telles que 
et 
alors 
Théorème des gendarmes : Soient f, g et h trois fonctions telles que 
et 
et 
alors
Asymptotes
Lorsque ce qui revient à 
ou lorsque 
la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y=l. Lorsque 
la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=a.
Lorsque 
ou 
on dit que la droite y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de f.
Limites à connaître
Limites usuelles
Soit n un entier supérieur à 1.
Si n pair, 
et 
Si n impair, 
et 
Exponentielle et logarithme
Différentes limites sont à connaître concernant les logarithmes et les exponentielles. 
Calculs de limites
On cherche la limite en l'infini. La fonction f est définie sur R et continue, c'est un polynôme. Un polynôme au voisinage de l'infini se comporte comme son terme de plus haut degré. Ici, les seules limites intéressantes à calculer sont en + ou - l'infini. Ainsi, 
De même, 
On cherche la limite en l'infini. La fonction g est définie sur R (son dénominateur ne s'annule jamais) et g est continue sur son ensemble de définition. Une fonction rationnelle au voisinage de l'infini à le même comportement que le rapport du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur. D'où, 
D'où la limite de la fonction g lorsque x tend vers l'infini est 0. En tout point la fonction est continue donc la limite est triviale. Par exemple, regardons la limite lorsque x tend vers 0. 
On cherche la limite en 3. En effet, h est une fonction définie et continue sur R-{3}, h n'est pas définie en 3. On regarde alors la limite à droite et à gauche lorsque x tend vers 3. 
Donc 
d'après le cours. 
D'où 
d'après le cours. Donc la courbe représentative de la fonction possède une asymptote verticale d'équation x=3.
On cherche la limite en -. En effet, la fonction est définie sur R*- et continue sur ce même intervalle. 
Donc la limite de la fonction i lorsque x tend vers -∞ est +∞. 
Ainsi, la limite de la fonction i lorsque x tend vers 0- est +∞. Donc la courbe représentative de la fonction possède une asymptote verticale d'équation x=0, c'est à dire l'axe des ordonnées. Étudions une dernière fonction :
On souhaite la limite en l'infini. On ne peut effectuer directement la limite puisque l'on observe une forme indéterminée ∞-∞. Dans ce cas, on doit tourner la fonction autrement pour trouver une autre façon de calculer sa limite. Une méthode efficace et qui fonctionne ici est la factorisation. 
On peut alors calculer la limite : le premier facteur tend vers l'infini et le deuxième tend également vers l'infini. Ainsi, grâce aux opérations que l'on connait sur les limites, on obtient que la limite de j(x) est +∞.
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j’aimerais vous demander: quel est le rôle du calcul des limites dans l’étude complète d’une fonction numérique réelle?
Merci ,vraiment vous êtes les meilleurs
Salut,je suis élève en classe de terminale s j’aimerai comprendre la méthode de résolution des limites d’une fonction composée fog.
Bonjour,
On utilise rarement les limites de fonctions composées en terminale, mais tu peux contacter un professeur grâce à Superprof qui pourra t’expliquer cette notion.
Lorsque tu as une fonction h=g(f(x)) et que tu souhaite étudier la limite au point a, il te suffit de déterminer la limite de f au point a, notée l, puis la limite de g au point l, notée L. Ainsi, la limite de h au point a est L.
Merci c’est notion nous aider beaucoup