Introduction

Utilisé en électromagnétisme, mécanique des fluides, thermique, diffusion de particules, l'opérateur divergence est un opérateur mathématique différentiel qui permet, comme son nom l'indique, de calculer la divergence d'un champ vectoriel.

Définition

Qu'est ce que la divergence ? Commençons par définir l'opérateur divergence et les propriétés qui l'entoure.

On note cet opérateur div.

On le définit, en analyse vectorielle, comme le produit scalaire du gradient par le champ de vecteurs :

    \[div \vec F=\vec \triangledown . \vec F\]

Ainsi, comme l'opérateur gradient, l'opérateur divergence est linéaire.

En effet, on a les propriétés suivantes :

Soient

    \[ V_1\]

et

    \[V_2\]

deux champs de vecteurs différentiables et alpha une constante.

    \[div (V_1+V_2)=div (V_1) + div (V_2)\]

    \[div (\alpha V)= \alpha \times div (V)\]

On a d'autres propriétés liant la divergence, le gradient et le rotationnel :

Soit f une fonction différentiable.

    \[div (fV)=f div V+\vec {grad} f.V\]

    \[div (V_1\wedge V_2)= V_2.\vec {rot} V_1-V_1. \vec {rot}V_2\]

On définit le plus souvent la divergence dans un repère à trois dimensions. Soit O un ouvert de

    \[R^3\]

et V un champ de vecteurs sur O de classe

    \[C^1\]

, la divergence de V est le champ scalaire sur O défini par

    \[div V=\frac{\partial V_1}{\partial x}+\frac{\partial V_2}{\partial y}+\frac{\partial V_3}{\partial z}\]

L'opérateur divergence agit sur un champ de vecteurs et renvoie un champ scalaire.

La divergence d'un champ mesure la façon dont le champ diverge ou converge. Si un champ de vecteurs ne diverge ni ne converge, la divergence sera nulle. On dira que le champ est solénoïdal ou laplacien.

Dans le cas où div V=0 dans O, il existe alors un champ de vecteurs A de classe

    \[C^2\]

sur O tel que V= rot A. Le champ de vecteurs A est appelé potentiel vecteur de V. A n'est pas unique, il est défini à un grad(f') près. Cela revient à dire que la divergence d'un champ rotationnel est nulle.

Une divergence nulle en un point représente des flux entrant et sortant autour de ce point qui se compensent (champ constant) ou à un champ tourbillonnant.

Une divergence positive en un point signifie que le flux est majoritairement sortant autour de ce point (le champ diverge).

Une divergence négative en un point signifie que le flux est majoritairement entrant autour de ce point (le champ converge).

L'opérateur permet notamment de définir l'opérateur laplacien :

    \[\triangle = div \vec {grad}\]

Coordonnées sphériques et cylindriques

Comment définir la divergence dans d'autres systèmes de coordonnées ? Passons maintenant à la deuxième partie : définir la divergence dans d'autres systèmes de coordonnées que le cartésien.

Seule l'expression en coordonnées cartésiennes est exigible, un formulaire sera fourni pour les autres systèmes de coordonnées si nécessaire.

Regardons comment est définie la divergence dans d'autres systèmes de coordonnées, toujours à trois dimensions.

Commençons par les coordonnées sphériques, en posant

    \[x= r \sin \theta \cos \phi\]

    \[y= r \sin \theta \sin \phi\]

et

    \[z=r \cos \theta\]

Cela donne alors

    \[ div V=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2V_r)}{\partial r}+\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial (\sin \theta V_\theta)}{\partial \theta} \]

    \[+\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial V_\phi}{\partial \phi}\]

Passons maintenant aux coordonnées cylindriques en posant

    \[x=r \cos \theta\]

    \[y=r \sin \theta\]

et z=z.

On a

    \[div V=\frac{1}{r}\frac{\partial (rV_r)}{\partial r}+\frac{1}{r} \frac{\partial V_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial V_z}{\partial z}\]

Théorème d'Ostrogradski

Qu'est ce que le théorème d'Ostrogradski ? Définissons maintenant de théorème indispensable à l'étude de la divergence.

En physique, c'est le théorème d'Ostrogradski qui sera le plus utilisé pour définir l'opérateur divergence.

Énonçons le théorème :

Soit O un ouvert de

    \[R^3\]

Soit dans O un ouvert B borné, dont la frontière

    \[\partial B\]

est entièrement contenue dans O et constituée d'un nombre fini de surfaces régulières orientées de façon sortante par rapport à O. Soit V un champ de vecteurs

    \[C^1\]

sur O. Alors

    \[\int_{}^{} \int_{\partial B}^{} V.d\sigma=\int_{}^{} \int_{}^{} \int_{B}^{} div V dxdydz\]

Cela signifie que le flux sortant de V au travers de la frontière de B est égal à l'intégrale sur B de la divergence de V.

Ce théorème permet de transformer une intégrale de surface en une intégrale volumique.

On appelle aussi ce théorème le théorème de la divergence. C'est une forme particulière du théorème de Stokes.

Application physique

Quelle application de la divergence en physique ? Terminons par étudier les différentes applications physique de la divergence.

Il est souvent plus élégant de calculer la divergence par analogie avec un champ connu dont on connait la divergence grâce à une loi physique.

On retrouve une divergence nulle dans différents cas, par exemple :

  • la divergence du champ magnétique B dérivant du potentiel vecteur magnétique A.
  • la divergence de la densité de courant volumique J en régime stationnaire.
  • la divergence des vitesses pour un écoulement incompressible dérivant d'un potentiel cinématique U.

L'opérateur divergence est particulièrement présent dans les équations de conservation comme l'équation de conservation de la charge, de la chaleur ou encore de la masse.

On retrouve l'opérateur en mécanique des fluides, dans l'équation de continuité qui représente la conservation de la masse :

    \[\frac{\partial \rho}{\partial t}+div (\rho \vec v)=0\]

où rho est la masse volumique du fluide et v la vitesse d'une particule de fluide à l'instant t. Ainsi, la divergence du vecteur vitesse 

    \[\vec v= \vec v(\vec r, t)\]

est le taux d'accroissement du volume de la particule fluide située en

    \[\vec r\]

à l'instant t. Lorsque cette divergence est positive, c'est que le volume croît, à l'inverse, si elle est négative, c'est que le volume se contracte.

Ensuite, l'opérateur divergence est présent dans l'équation de conservation de la charge électrique. L'équation donne

    \[ \frac{\partial \rho(M,t)}{\partial t}+ div \vec j =0\]

En régime permanent, on obtient que la divergence du vecteur densité de flux de courant est nulle puisque toute variation temporelle de la charge volumique est nulle.

Enfin, la divergence est très utilisée en électromagnétisme, dans l'équation de Maxwell-Gauss :

    \[div \vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\]

où rho est la densité de charges.

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Elise

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