Gradient en coordonnées cartésiennes

Comment représenter une fonction à 3 variables ?
Représentation de la fonction y = -3x + 4z

Le gradient est la généralisation de la notion de dérivée à plusieurs variables. En effet, lorsque nous avons étudié les dérivées, nous avons toujours dérivé par rapport à x. Cela fonctionne sur une fonction n'ayant qu'une seule variable. Seulement les fonctions à une variable sont un cas particulier. Nous pouvons tout à fait avoir des fonctions avec plus d'une seule variable. Dans ce cas-là, celles-ci ne se représentent pas sur un plan à 2 dimensions mais sur un plan à n dimensions. Il est par conséquent impossible de représenter graphiquement des fonctions à plus de 3 variables (on ne peut pas représenter des espaces à 4 dimensions ou plus). Pour ces dernières, nous utiliserons l'algèbre linéaire que nous verrons dans un autre cours. Par exemple, soient x,y,z 3 variables appartenant à R. Soit la fonction f telle que : f(x,y,z) = x² + 2xy + zx + 3xyz. La fonction f est définie et dérivable sur R et on note les dérivées partielles de f pour x,y,z comme suit : overrightarrow{triangledown}= begin{cases}& frac{partial f}{partial x} = 2x + 2y + z + 3yz & frac{partial f}{partial y} = 2x + 3xz & frac{partial f}{partial z} = x + 3xy end{cases} Le gradient de la fonction f est noté overrightarrow{triangledown}. On remarque que quand l'on effectue les dérivées partielles par rapport à une variable, les autres variables sont quant à elles considérées comme des constantes. Il faut donc toujours faire très attention à la variable par rapport à laquelle on dérive. Il existe un lien entre le gradient et la différentielle totale d'une fonction. On note df = frac{partial f}{partial x}dx + frac{partial f}{partial y}dy + frac{partial f}{partial z}dz Par conséquent, pour revenir à notre exemple précédent, la dérivée totale de la fonction f est égale à : df = frac{partial f}{partial x}dx + frac{partial f}{partial y}dy + frac{partial f}{partial z}dz = (2x + 2y + z + 3yz) + (2x + 3xz ) + (x + 3xy) = 2x + 2x + x +2y +z+ 3yz + 3xz + 3xy = 5x + 2y + z + 3yz + 3xz On peut également considérer la différentielle totale par le produit scalaire du gradient par le vecteur dr avec r étant le déplacement élémentaire de composante dx,dy,dz. On note dans ce cas : df = overrightarrow{triangledown}.dr

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Gradient en coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques, on représente un point M différemment qu'en coordonnées scalaires. En effet, on caractérise un point M avec les coordonnées r,θ et z avec r étant le rayon du cylindre, θ l'angle polaire et z la troisième coordonnée du cylindre. A l'instar du gradient pour les coordonnées cartésiennes, on a la dérivée totale de la fonction cylindrique f qui est égale à : df = frac{partial f}{partial r}dr + frac{partial f}{partial theta}dtheta + frac{partial f}{partial z}dz En revanche les composantes du gradient en coordonnées cylindriques diffèrent, et on a : overrightarrow{triangledown}= begin{cases}& frac{partial f}{partial r} & frac{1}{r}frac{partial f}{partial theta} & frac{partial f}{partial z} end{cases}

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Gradient en coordonnées sphériques

En coordonnées sphériques, on représente un point M différemment qu'en coordonnées scalaires. En effet, on caractérise un point M avec les coordonnées r,θ et φ avec r étant le rayon du cylindre, θ l'angle entre l'axe z et le rayon et φ étant l'angle entre l'axe x  et la projection du  rayon dans le plan x,y.Cet angle varie donc entre 0 et 2π en coordonnées polaires. A l'instar du gradient pour les coordonnées cartésiennes, on a la dérivée totale de la fonction cylindrique f qui est égale à : df = frac{partial f}{partial r}dr + frac{partial f}{partial theta}dtheta + frac{partial f}{partial z}dz En revanche les composantes du gradient en coordonnées diffèrent, et on a : overrightarrow{triangledown}= begin{cases}& frac{partial f}{partial r} & frac{1}{r}frac{partial f}{partial theta} &frac{1}{rsintheta} frac{partial f}{partial phi} end{cases}

 

Représentation graphique

Pour chacune des 3 coordonnées, on peut représenter graphiquement les différentes fonctions associées tant que le nombre de variables n'est pas supérieur à 3. Pour les coordonnées cartésiennes, on utilise généralement les vecteurs unitaires overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k} avec le vecteur i représentant l'abscisse, le vecteur j représentant l'ordonnée et le vecteur k la profondeur (la 3ème dimension). En prenant pour exemple la fonction y = -3x + 4z on obtient alors une représentation graphique en 3 dimensions de cette fonction (voir début de l'article). Concernant la représentation d'une fonction en coordonnées cylindriques, on utilise les vecteurs unitaires overrightarrow{r},overrightarrow{theta},overrightarrow{z} avec le vecteur r représentant le rayon du cylindre, le vecteur theta l'angle du cylindre en coordonnées polaires et z la hauteur du cylindre. On peut par exemple dessiner ce cylindre avec les coordonnées cylindriques :

Comment représenter une fonction via les coordonnées cylindriques ?
Exemple de graphe en coordonnées cylindrique

Enfin, concernant la représentation d'une fonction en coordonnées cylindriques, on utilise les vecteurs unitaires overrightarrow{p},overrightarrow{theta},overrightarrow{phi} avec le vecteur p représentant la distance du point P au centre O, le vecteur theta l'angle sphérique orienté par les demi-plans et phi l'angle non orienté par les vecteurs z et OP. On peut par exemple dessiner cette sphère avec les coordonnées sphériques :

Comment représenter les coordonnées sphériques ?
Représentation en coordonnées sphériques

Opérateur Nabla

Le nabla à l'instar du gradient peut s'écrire en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Concernant les coordonnées cartésiennes, on l'écrit comme suit : overrightarrow{triangledown} = frac{partial }{partial x}overrightarrow{i} + frac{partial }{partial y}overrightarrow{j} + frac{partial }{partial z}overrightarrow{k} Concernant les coordonnées cylindriques, on écrit l'opérateur nabla comme suit : overrightarrow{triangledown}= frac{partial }{partial r} + frac{1}{r}frac{partial }{partial theta} + frac{partial }{partial z} Enfin concernant les coordonnées sphériques, on écrit l'opérateur nabla de cette manière : overrightarrow{triangledown}= frac{partial }{partial r} + frac{1}{r}frac{partial }{partial theta} + frac{1}{rsintheta} frac{partial }{partial phi}

Exercices Corrigés

Exercices

Exercice 1 : Calcul de dérivée totale Soit f la fonction définie par f(x,y,z) = 2x^{2}(y-z^{3}).

  1. Calculer le gradient de la fonction f
  2. Déterminer la dérivée totale de la fonction.

Exercice 2 : Gradient d'une fonction Soit une fonction f définie et dérivable  dans le plan (O,x,y) tel que

f(x,y)=sin(x^{2}+y^{2})+ (xy)

  1. Déterminer les coordonnées du gradient de f
  2. Déterminer les coordonnées du point gradient de M(-1;-3)
  3. Déterminer les coordonnées du point M(-1;-3)
  4. Déterminer la dérivée totale de f

 

Comment représenter une fonction à 3 dimensions sur R ?
Représentation graphique de la fonction f(x,y)

Corrigés

Exercice 1 :

  1. f est définie et dérivable sur R. On détermine le gradient :

overrightarrow{triangledown}= begin{cases}& frac{partial f}{partial x} = 4x(y-z^{3}) & frac{partial f}{partial y} = 2x^{2} & frac{partial f}{partial z} = -6x^{2}z^{2} end{cases}

  1. Maintenant que l'on a déterminé le gradient de la fonction, on peut calculer la dérivée totale :

df = frac{partial f}{partial x}dx + frac{partial f}{partial y}dy + frac{partial f}{partial z}dz = 4x(y-z^{3}) + 2x^{2} -6x^{2}z^{2} =2x(y-z^{3} +2x -3z^{2}) Exercice 2 : 1. f est définie et dérivable sur R. On détermine le gradient : overrightarrow{triangledown}= begin{cases}& frac{partial f}{partial x} = 2xcos(x^{2} +y^{2}) + y & frac{partial f}{partial y} = 2ycos(x^{2} +y^{2}) + x end{cases} 2. overrightarrow{triangledown}f(M)_{x} = 2xcos(x^{2} +y^{2}) + y = 2*(-1)cos((-1)^{2} + (-3)^{2}) + (-3)^{2} = -2cos(10) + 9 overrightarrow{triangledown}f(M)_{y} = 2ycos(x^{2} +y^{2}) + x= 2*(-3)cos((-1)^{2} + (-3)^{2}) + (-1)^{2} = -6cos(10) + 1

3. Pour les coordonnées du point M(-1,-3) pour la fonction f, il suffit simplement de remplacer x et y dans la fonction : f(-1,-3) = sin((-1)^{2}+(-3)^{2})+ ((-1)*(-3)) = sin(10) + 3 4. email  Pour obtenir la dérivée totale de f, on effectue la somme des dérivées partielles : df = frac{pahttp://emailrtial f}{partial x}dx + frac{partial f}{partial y}dy = 2xcos(x^{2} +y^{2}) + y + 2ycos(x^{2} +y^{2}) + x = 2cos(x^{2} +y^{2})(x+y) + x + y = (x+y)(2cos(x^{2} +y^{2} +1)

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